モンティ・ホールのジレンマ

NetaTaneMenu? >>>> モンティ・ホールのジレンマ >>>> いくらもらえる？　−　確率を解釈する+ ビリヤードのパズル >>>> 仮説検定 >>>> 珈琲豆ブレンド検定

確率の世界には数多くのパラドックスがあります。その大半は，数学的に導かれる結論と 人間の直観とが一致しないことから起こるものです。そのひとつに有名な 「モンティ・ホールのジレンマ」があります。それについて考えてみようというページです。突っ込み，疑問，茶々などは記事の下のほうに，自由に書き足してください。

パラドックスの内容

登場人物や小道具のバラエティはいろいろありますが，どれもパターンは同一です。

登場人物(2名)　あなた，真実を知るえらい人

小道具　中身が秘密の箱3個，ただしそのうちの1個だけに宝が入っている

芝居の情景

あなたは今，3個の箱の前に立っています。
箱のひとつだけに宝が入っていることをあなたは知っています。
しかし，どれに入っているかはわかりません。
あなたは当てずっぽうに1個の箱を選びました。
えらい人が現われ，選ばれていない2個の箱のうちの1個を指差して言いました。

さて問題

えらい人が別の箱を指して「これには入っていない」と教えてくれた時点で，少しでも自分に有利に振舞おうと思ったら，あなたは一体どうしたらよいのでしょうか？

1. 選択を変更したほうがよい
2. 変更しても別に確率は変わらないのだから，そのままでもよい

お答え

もう答えちゃいます。

答えは，「選択を変更したほうがよい」です。ちょっとびっくりですね。この筋書きは，アメリカのクイズ番組の最後で司会者のモンティ・ホールが賞品を出すのに使っていた方法だということです。3つのドアがあり，出演者が当たりのドアを開けると賞品がもらえるという趣向で，そこに司会者が「助言」するという仕掛けです。

出演者がどう振舞ったらよいかというのは，重要な問題ですね。ある人が「選択を変更したほうが有利である」と雑誌のコラムに書いたところ， 数学者を含む多くの人が「確率は変わらない！」と主張して大騒ぎになりました。 しかし，結局はこの数学者は誤っていたわけです。

さて，みなさんはこの問題をどう考えますか？

いよいよ登場ですねえ。わくわくします。普段は見るばかりの方も、ここはほれ、参加して下さい。と、そこで，私からも一つ。この問題の条件のうち，「箱が３つ」というのはどういう意味があるのでしょう。あるいは意味がないのか？

おっと，さすがに目の付け所が鋭い。もちろん箱が2つならこの問題は成立しないから3以上でなければなりませんが，じゃあ4とか5だったらどうなるんだ？・・・と考えることは，問題の核心を探る上でヒントになるでしょうね。しかし，より大きな数への拡張には，ある勘どころ（「落とし穴」ともいう）がありますから慎重に！

「変わらないから何もしないでいい派」の主張は，たぶん次のようなものでしょう。

自分が選んだ箱に宝が入っている確率は 1/3 だ。
えらい人がその後何をしても，当たっている確率は変わらないはずだ。

いえ、こうじゃないですか

残った２つの箱のうちの１つだから1/2だ

ふむふむ，つまり，

自分は何もしなくても，えらい人が外れをひとつ教えてくれたので，
自分が当たっている確率は 1/2 に上がった。これでいい！

というわけですね。本当に確率は上がったのか？というあたりがひとつのポイントかも知れません。

ところで，モンティの問題設定とは直接の関係はないのですが，似た設定の次のような議論が浮かんできます。

目隠しして振ったサイコロの目を 3 と予想して掛け金を払った。
予想が当たっている確率は 1/6 だ。
その後目隠しをとって見た。そしたら 3 が出ていた。
確率は1だ。

うーん，なんか変ですね。確率を教わった中学生が言いそうだ（大人もいうかな）。だけどこの考えに対してどう応じればいいのでしょうか。そもそも確率って何なんでしょうか？

このあたりで展開された確率の解釈をめぐる議論は新しい場所へ引っ越しました。

モンティ・ホールの問題を実験できるCGIプログラムを作ってみました。とりあえずやってみようというわけです。どういうわけかInternet Explorer ではうまく使えないようです。Netscape でやってみてください。

だれか上のシミュレーションを走らせてみた人はいませんか？何回かやってから統計を出させると，正答率や回答者の戦術へのコメントがでるようになっているんですが。だいたい30回の試行をやれば，その戦術による的中確率の値が 1/3, 1/2, 2/3 のどれであるかを，信頼度80％程度で判定できるはずです。

もちろん走らせましたよ。職場はIEばかりなので，家のmacのsafariというブラウザです。見た目は問題なく動いてました。正答率？75％でしたよ。うふふ。サンプルというか試行が少なすぎたかも。

私の友人のサイトでモンティホールの話題が盛り上がっています。このあたりから。小噺なども登場してます。

こちらも拝見。以前も何かの折に覗いた場所だったりします。面白そうな話題が目白押しですね。千手観音は楽しいですね。少し変えるか思い切り変えるか，どちらにしろ良く分からないときは条件を変えてみるというのは有効ですねえ。

ふるかわ−たざきのパラドックス

こういうものが登場したようです。引用させてもらましょうか。

五つのドアがあり、その一つの背後に当たりが隠れている。
あなたは、二つのドアを選ぶ。まだ開けない。

司会者「あなたが選ばなかった三つのドアのうち、二つを私が開けることにしま
しょう。私もどこに当たりが隠れているか知らないんですよ（にこにこ）。本当
ですよ（会場笑）。さて、ここは？　お、はずれですね。じゃ、こっちは？？　
おお、またまたはずれだ！　ぼくも運の悪い男だ（会場笑）。」

というわけで、三つのドアが開かずに残っている。あなたが選んだ二つと、選ばな
かった一つ。

司会者「さて、考えを変えるチャンスです。最初に選んだ二つのドアを開けるか、
それとも、最初に選んだ二つは開けずに選ばなかった一つのドアだけを開けるか？？
どちらにしますか？！」 

ではさらに

元のモンティホールで，司会者がドアを開けるかどうか
を回答者が選べるとしたら，もちろん開ける方を選ぶのでしょうけど，
それは何故でしょう？

こういうのはどうでしょう？