数列の和

等比数列ネタ

また今年もここを教える機会が参りました。今回はちょっと変えて、こういうクイズから入ってみました。意図を分析してみてください。

てんびんばかりで１ｇから１００ｇまでを１ｇ単位ですべて量れるようにするためには
分銅は最低何個必要か（何ｇのを何個ずつ）

これが追加の新ネタですよね？トップに移動してしまいました。(2004.06.19)

例えば1gと3gと5gの分銅が1個ずつあれば，1gから9gまで1g刻みに測れますっていう理解で良いのでしょうか？

はい、その通りです。

パターンがフラクタル（ちょっと違うか）してて面白いですよね。どちらかというと再帰構造？かなあ。

談話室で木村さんがちょいと投げたネタが埋もれたままになっているんだけど，きっとこういうのは何かいいたいことがあるからですよね？

そういえば丁度�瑤力誕蠅鮟个靴燭箸海蹐覆里如�等比数列の和、

　１−２＋４−・・・−５３６８７０９１２

はどう計算させてます？

で，どう計算させてるんですか？それを知りたいところです。

等比数列の和は末項の次の項がポイントです。そこで次の項をだすと(-536870912)*(-2)=1073741824、ここから初項をひいて-2-1で割って、-357913941。公式通りの利用だとついｎの値が知りたくなりますが、この場合はｎを求める計算は無駄になるということを実感できるかと思います。

「無駄」っていうところが引っ掛かりますが、納得。っていうかその前にやっぱり、536870912が何故2の累乗だって「判る／断定できる」のか？が問題だと思うんだけど。それは瑣末なことなのかも。でも問い方は結構重要ではないですか？

問題に等比数列の和となっているので２の累乗であることは保証されていると思います。ちなみに私は和の公式を次のように指導しています。

等比数列の和＝（次の項−初項）÷（公比−１）

確かにそうですね。「等比数列」なんだものね。失礼しました。

なるほど。わたしは次のようにいきなり n の暗算に走りました。

536870912 を 1000 で割っていく。
1000^3 で割ったところで 0. 53...
つまり， 1024^3 * 1/2 = 536870912 ってことだな。
n = 29 だ

2^10 は とうに妊娠しちょる の応用なのでした。大学の寮の先輩たちに感謝感謝。

これを見ていて， 2^n-1 は　n　が偶数のときに，2^n+1 は n が奇数のときに3の倍数になることの証明が作れるんか，と小さな発見をしたりしてましたが。3を法とする計算でもっていく証明もあるかな（数学は専門家でないのでいいかげんです）。

高校生の数学としては帰納法でっていうのが正道の様な気がしますが、剰余系のほうが楽ですね。どちらも機械的にすっきりしますけど、そうではなくて実感できれば吉ですか。

等比数列の面白いところは、その項までの和によって次の項が生まれるところではないかと思います。そこで、授業ではまず初項１公比２で、和＋１＝次を発見させ、これを一般化していくという方法をとっています。