多角形の重心

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多角形の重心

昨年秋の京都府の大会においてgrapesを用いた「四角形の重心の問題」について講演があったことを覚えておいででしょう。 三角形の重心はご存知のとおり、四角形の重心はベクトル表示が(a+b+c+d)/4という形から、つい

向かい合う２辺の中点を結んだ線分同志の交点が「重心」と思い込んでいた方が多かったと思います。虚を突かれた・・！

これは、「四角形を２つの三角形に分けてその２つの重心を結んだ直線上に四角形の重心があるはずです。四角形を構成する三角形はもう１組存在し、その重心同志を結んだ線分上にも四角形の重心があるはずです。従ってそれらの２つの線分の交点が四角形になる」ということでした。

で、実は重心でコマを作ろうという公開講座で議論が持ち上がったのですが、五角形はどうだろうということです。確かめもせず納得した形で終わりましたが、五角形の場合は、「３つの三角形で構成されますが、それぞれの三角形の重心が頂点となるように結んでできた三角形の重心」であろうという結末・・・。なんか気持ち悪い！線分の交点重心を作図で求める方法なのだから。

でgrapesで確認してみました。

やはり、間違っていました。赤が「真の重心」、緑が議論の後変な気持ちになって求めた重心です｡明らかにずれていますね。

じゃあどのようにして重心を求めるのか調べて結論を得たわけですが、五角形を三角形と四角形に分けます。三角形の重心と四角形の重心（求め方は上記の方法ですね）を結んだ線分上に五角形の重心が乗っています。また違った組合せで同様にして重心を結んだ線分を作ります。その２つの線分の交点が「五角形の重心」となるのです。

思い込みやたぶんそうだろうと済ましてしまうことが現場側にもあれば当然生徒にも同じ現象が浸透しますよね。反省！反省！六角形は？七角形は？一般化は？ここから先は偉い方々のコメントをお聞きすることで眺めさせて頂きます。では 思い込みやたぶんそうだろうと済ましてしまうことが現場側にもあれば当然生徒にも同じ現象が浸透しますよね。反省！反省！六角形は？(三角形と五角形、四角形と四角形の2つの組み合わせ)七角形は？(三角形と六角形、四角形と五角形の2つの組み合わせ)一般化は？ここから先は偉い方々のコメントをお聞きすることで眺めさせて頂きます。では

偉くない人なのだ。えっと，多角形の重心は頂点の座標で決まるんですね？物理的には，多角形の板をある任意の一点で吊って鉛直線にそって線を引き，もう一点で同じことをやって，２本の線の交点を見つけるというやり方をしますね。つまり，数学的重心は頂点の座標だけから決まり，物理的重心は面がもつ質量分布で決まるわけです。これらが（たぶん）同一なのはどうしてなのか。

一般のn角形については、以下同様（帰納的）に出来るのでは？6角形ぐらいで試して、結果がＯＫならばそれでよいでしょう。（検証は、本ネタの発信源の方にお任せします） また、物理的な方法…ですが、ある点で吊って鉛直線を考えるというのは、平面に分布している質量を、何らかの法則にのっとって直線上に集める、つまり“射影”のようなものを考えていることに相当するのでは？この辺りから考えれば、均質でない板にも応用できるかもしれませんね。

• 物理的重心の定義から考えると，多角形の面に一様な質量分布があると考えて重心を決めるわけですが，この多角形の辺だけが一様な質量分布をもつとしても重心の位置は同じなんだな（タマネギの皮むきの論理）。辺の重心はその中点にあるから，・・・ふむふむ。

ということはつまり，n角形の各辺の中点をとって，それらを結ぶn角形をつくり，そのn角形について同じことを繰り返していくと，収束点として重心が得られるのか。思いつきだがこれは遊べるぞ。ほーほー！

いびつな7角形なのだ

いやあ、久しぶりに話が続くと下に書いて行く方式は読みにくいですね。うーん。それはそうと，上の絵ですけど，そちらかというと重心が左上に偏っててバランス悪そうに見えますよね。これって，辺の長さ（密度？質量分布？）が長いほうが重いってのが考慮されてないからなのですよね。違うのかなあ。

おっと！確かにそうですね。とりあえず力学的なの定義によって計算された重心も書き加えたのが次の図。今度は8角形，重心は中心で黒く塗ってある。

いびつな8角形,中心つき

結局，すべての辺の質量を同じにしておかないといけないのだな。ということは長い辺ほど細いのか。タマネギの皮のイメージを修正しないといけない。えーっと。

辺の質量を同じとしても，まだまだ左上に偏っているような。これはきっと重心からの「距離」が計算に入っていないからかなあ。うーん。わからんわからん。とかく「重心」というのは謎なものだあ。因みに，今年はそろそろ新しい百科事典を入れようかという話が図書館であって，先日もその見本を見たのですが，重心にはやっぱり物理的な定義と数学的な定義が併記されていました。さて，数学屋としては物理の定義「板をある任意の一点で吊って鉛直線にそって線を引き，もう一点で同じことをやって，２本の線の交点」で一点が決まる保障はどうなっているのだろうってところが気になる。うーん。どうだったっけ？教養で教わったかなあ。うーん。高校のときの物理の先生はそこまで厳密な人じゃなかったしなあ。数学は何故かイプシロンデルタまであったけど。

極限で遊ぶのは楽しいですね。それにしてもそうですかぁ、「多角形の辺だけが一様な質量分布をもつとしても重心の位置は同じ」なんですか？本当に？「たまねぎの皮むき」は円や球のように一様！？なモノでないと駄目じゃないんですかねえ。うーん。うーん。物理的な重心て言うのも結局はモーメントが吊り合う点なのですよねえ。うーん。

タマネギの皮だけが一様な質量分布をもって，中は空っぽという殻だけタマネギなのでした。いつもの抜けっぱなしの説明でどうもすみません。って，直すのはタマネギじゃなくて多角形のほうだな。ちなみに質点系の重心は次の式で与えられる重み付き平均ですね。ここで m_i は質点 i の質量，r_i はその位置ベクトルです。

  ��m_i r_i / M
   M = �� m_i

極限ってことになるとどうしてもフラクタルな図形を考えちゃいますよね。えっ？違うよって？いやいやここはまあそういうことにしておいて。フラクタルな図形の重心はどうなるのかなあ。

ついでにもう一つ。クラスタ分析のことを今朝聞かれて調べてみたのですけど、これもクラスタを作るときに「重心」を合わせるのですよねえ。どなたかこの分析法のイメージをご存知ないですか？

話を元に戻して，いわゆる「数学的な重心」と言うのは，ピザの問題（二枚重ねたピザを，一回ナイフで切るだけで両方共二等分する事ができるか？できる）と同じで，「その点を通る任意の直線は面積を二等分する」って言うことですよね。だから帰納的なんですよねえ。ピザは重なっていても離れていても同じ事だしね！と書いてはみたが違うか。任意じゃないか？うーん。うーん。

やっぱり，「その点を通る任意の直線は面積を二等分する」って言うのは無理ですよねえ。大体三角形の重心からして，重心を通り辺に平行な線で二分すれば，面積は４：５ですもんねえ。うーん。ってことは逆に面積を二等分する直線で「囲まれる」図形って面白いかもしれませんねえ。そんなの誰か知ってますか？三角形なら三葉線（三つ葉のクローバ）みたいになるのかな？

三角形の面積を二等分する線分を動かして，その線分の通った領域を塗りつぶしてみました。

線分GHが，面積を二等分する線分。これを，線分CDの位置にある状態から始めて，線分EAの位置にある状態に来るまで，点GをCからEまで動かして，その間に線分が通った領域が図の緑色の部分です。

うへえ。そうですよね。書き込んでから「あららあ」って思ったんですけどネタだからそのままにしておきました。葉っぱになるってのはどうも変ですよね。適当に座標変換すれば，面積一定なのでxy=const.な反比例のグラフを描くのだな？かな？

いやいや，いい加減な事を書くといけないなあ。「直線xy=const.が通る領域」の形だな。うふふ。でも一次変換みたいな図形の変換を良く知らない今の子には難しいかなあ。

ついでに，四角形で，4頂点に同じ重さの質点が置かれた場合（辺や内部には何もないと考える）の質点系の重心と，四角形の一様な板の重心とが一致しないという図を作ってみました。

赤い四角のマークが質点系の重心，青い四角のマークが板の重心です。このページの最初に書かれている，「昨年秋の京都府の大会」の話題というのはこの図の表しているずれなのでしょうね。ところで，数学的な重心と物理的な重心という言い方をすると同じ対象に対していくつもの異なった重心があるように聞こえるので，質点系の重心，辺だけから成るフレームの重心，板の重心というように考えている対象が違うのだということをはっきりさせる言い方をした方が誤解が少ないかもしれませんね。

そうかあ！すっきりしました。数学の重心っていうのは「頂点だけ」に質量があるもののことだったんですね？ですか？うーん。んじゃあ，その考えの延長で円の重心だの半円の重心だのを考えさせちゃ駄目だったのかあ。うーん。ぶつぶつ。いやでもそれだとおかしいなあ。うーん。なんだか話が混線しているような気がするなあ。

先週から弔事で千葉にいるので，ちらちらとしか覗けないですが，かんどころは決まったみたいですね。ふむふむ。しかし，数式を書く方法がないのは不便だ。

てなわけで，ググッて見ました。「数学のいずみ」の中にこんなページがありました。詳しくは読んでませんが，少し疑問が解消されそうじゃないですか？……と思っていたらいきなり「…｡この糸により、図形の面積は二等分されるから、重心は、図形の面積を二等分するような２直線の交点である。…」なんていう記述が…なんてこった｡

多角形の板の任意の端を支えてぶら下げたときに，多角形の面積が垂線によって二等分されるというのはどうやら広く信じられてることのようですね。うーむ。剛体のつりあい＝力のモーメントのつりあいから考えると，見ただけでそうならない多角形はいくらでも作れるのにねえ。

「つりあう」から同じ重さ，同じ面積という考えと，三角形の重心は中線上にあり，これは三角形の形がどんな形でも変わらないし，それは面積を二等分するからだ，という考えが「ないまぜ」になる結果ですかねえ。考えの道筋自体は正当だと思うのだけど，どうもねえ。検証がなってないのかなあ。いや，誰かに正否を求めるのではなくて，自分で検証するっていう事が，ですけど。それにしても謎だなあ。重心って。

ネタを捜して丹後さんのページを覗いていたら多角形の重心なんてページを作ってらっしゃる｡みなさんご存知でしたか？