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平面図形の作図


下の図のように、2点A,Bを通って直線lに接する円を作図せよ。ただし、コンパス、定規、分度器を使っても良い。 年齢マジックにコメントを頂いたので嬉しくなって、久しぶりに掲載しました。ちょっとした難問ですよ。解答例は年明け。生徒が答えてくれました

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ふーん。分度器ですか、、、めずらしい作図題だなあ。 っておっと、ちゃんとMacOSXからも書き込める?ありがたいなあ。

あっ!一応分度器も親切心で入れておけばと思ったので・・。別に使わずとも描けますね。思いっきりヒントかも→分度器は消しておきます。

ですよねえ。ちょっと悩んだけど、ふーんなるほどねん。ですね。

保育園児2人と一緒に落書きしながら解きました。 お嬢さん達は、てっきり僕がアンパンマンを描いているのだと思って大騒ぎ!! (これもヒントかな?) こういうのって,僕らは殆どやってないから,面白いですよね。 きっと知らないけど面白い問題がまだまだゴロゴロ転がっている筈。

それにしても良い教材になるのになあ、、、

ってこれもヒントかも。

そうそう。作図題って基本的に分度器は無しですよね。

ここに書き込まれた方は、既に解かれたわけだ。さすがですね。どうしてそんなに早く解決できるのか。もう才能しか考えらず羨ましいだけ。学校でも解けた生徒との議論や会話は楽しい。

作図問題って50分間という定期考査には馴染まない。でも素晴らしい問題がありそうなのに、日の目を見ない。教科書傍用問題集って基本的に50分間内で解ける問題を中心に載せるのかな?ならば、作図なんて問題は学校現場に登場しにくい運命なのかも。数学の議論なんてこと久しぶりだった。ところで、分度器の文字を残したまま「取消線」をつけておこうと思ったのですが、分からず。誰か教えてくださらないか。

はい。まずは右上のヘルプを開けてみましょう。ね。ちなみに今のところコメントは僕だけみたい。

でどうやらこうするようです。

なるほど。なるほど。ズボラなので自分で探さず直ぐ人を頼ってしまう

中心は2つの○○線の交点ですよね。そうすると右上のかなりいったところにももう1つあると思うのですが、それも作るのかな。(木村)

この手の作図問題の作法ってどうなんでしょうか?要求を満たしたものを一つ描ければよしとするのか,複数ある場合は全て描かなくちゃいけないのか。はてさて。

線分○○は直線lに平行の場合になるときは直ぐ。ですので、そうでない場合で考えてもらう。円は、2種類と考えてますけど。えっ!違うのかな?   で、狡くも点と直線との距離だから、2つの放物線の交点だと嘯くと→「コンパス定規で書けない!それは、反則だぁ」と。嘘を見抜く生徒の鋭さ よ。証明は、代数計算を利用して、その形式からアプローチして解きました。う〜ん。面積からアプローチして解いた子もいたみたいですが(可哀想に前者を示した後、時間無くて流してしまった)、結局同じ事を言っているのでは。

えっ?いわゆる方冪では、、、

最初解いた子は、方べきの定理等使わず線分の長さを適当に文字にして、平方の差の展開に持って行き、それに見合う作図をした様ですね。他の子から「方べきの定理とピタゴラスの定理なんだね」と言われて、その子は「あっ。そうなんか」でした。(議論中継)

肝心の方べきがでてしまいましたね。結局長方形から正方形への等積変換と同じ方法になるわけだけど。右側の接点も同時に見つかるし、いい問題だと思います。(木村)

さてさて、その「良い問題」というとこなんですけど、こういう問題って、僕らの知らない、ずっと前の平面幾何があった頃だと、「例題」じゃなかったのかなあ。というあたりが「わかりません」。つまり、今の教科書の内容も、こないだまでの選択での中身でも、「基本的な良い問題」というのが、明確にリストアップされてない?すくなくとも僕の頭の中には整然とはリストアップされてないので困っています(教えるのには困りませんけどね。教科書があれだけまちまちで、中途半端だと)。でもね、プロとしては困惑するところです。というわけで、ここ数年はそういうリストアップ作業を延々続けています。

では,生徒の解答を。彼は方べきの定理というものは,知りません。また,2点A,Bが平行でないという限定で解いています。

sakuzu.JPG

代数計算b^2-a^2=(b+a)(b-a)から閃き,このことが方べきの定理に該当するなんてことは,後の授業で教えました


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Last-modified: 2014-08-11 (月) 17:56:02 (2604d)