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正多面体繋がり


確か数年前にこのWikiページで正多面体の話題が流れました。鏡面で充填図形から色んなページに行きますと話題が出ています。それから色々と作って黄瀬さんにも画像を見せていました。2007.9末に居酒屋でその話題で膨らみ,MLにも放送の話が出たので,じゃあ私も人が触れるように作ってみようと思いました。以前作成した物が,古くなったのでリニューアルされたものもありますので悪しからず。

半径5cmの球に内接する正多面体を拵えて,各頂点をカットしたものです。(切頂多面体)

seccho.JPG

上の左図の正20面体と正12面体は,頂点をカットすると一方の多面体になるという性質が見て取れます。右図の3つの正多面体は,どうなのか・・・? ただ面白いことに,正8面体と立方体は立方格子(面心・対心)と関連があるなぁと再確認したところです。

rippo.JPG

真ん中の切頂8面体は,mathEnetのHPに掲載したケルビン14面体のパーツです。空間充填図形と繋がります。

そこで,総じて色々と作ってみようと思いました。ジャジャーン!!

seitamentai.JPG

正多面体の入れ子ですが,5つの正多面体はいずれも直径5cmの球に内接するものです。それをベースにして外側に他の多面体を接するとどんな関係になるのかを考えて作ってみました。辺の頂点に頂点が接するもの,面の外心(内心・重心)に頂点が接するもの,面に辺が接するもの,頂点が一致するものetc等が見えてきて面白いです。計算が面倒でしたが,高校生に見せると大変興味を持ってくれました(暇人かと言われましたが)。

さて,5つの多面体の中でどの多面体が入れ子にするのに最も厄介なのかお分かりなのではないかと思います。面と面の成す角度や各頂点との距離が簡単に出ないですから,そこはアバウトに作ってしまいました。

ireko.JPG

上図は,右隣の図形を組合わせて作りました。つまり,他の多面体の組合せで色んな入れ子が作れます。生徒には製作が簡単な入れ子を指南しました。

先程,エネルギーの安定に関わる問題としてケルビン14面体の例を示しましたが,正20面体でも折り紙で色々と作ってみました。

20baku.JPG

色は,温度が分かりやすいように違いを付けました。 風船のように面を突起させたり,凹ませたりしている様子を表現しました。右から2つ目は,頂点が一度掛けて瞬間をイメージしました。

さて,正20面体のフレームにシャボン膜を張った場合,どんな立体でエネルギーが安定(最小)するのでしょうか?(また,考えて実験してみたくなりました。誰かしてくれないかな?たぶん上図の左側だと思うのです。)

今回は正20面体でしたが,他の多面体でも遊べます。まだまだ正多面体は奥が深い・・・。


添付ファイル: file20baku2.JPG 499件 [詳細] file20baku1.JPG 498件 [詳細] file20baku.JPG 515件 [詳細] filerippo.JPG 554件 [詳細] fileseccho.JPG 611件 [詳細] fileireko.JPG 550件 [詳細] fileseitamentai.JPG 537件 [詳細]

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Last-modified: 2007-12-26 (水) 02:51:28 (5024d)