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地球上の位置把握


大航海時代に海を渡って,新大陸を発見!なんて.今の時代の子達に浪漫を語ろうとしても何かと生活に満たされているから,ピンと来ないのかも知れません.海外のテレビの1シーンで,どこかの偉い人の部屋には,何故か世界地図や地球儀が置いてあって,良く手をついているシーンを見ます.世界地図や地球儀を購入しても,日本ではどんな指導をしているのだろう.自分の子供の頃にあった夢を持ち続けているのかな?高校生って,それほど世界に視野(研究者として世界を渡り歩く,世界的経営戦略を模索する人になりたい,治安や衛生面の悪い土地で貢献したいetc)を向けて,考える余裕がないのかも知れません.2007.5.28 kawasaki

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以前,エコシュートというサッカーボールを購入したのですが,再登場です。

さて,当たり前の話ではありますが,小学校で緯度の計り方は習いました.どんな計り方をしたかは,忘れましたが,   覚えておられる方教えてください.


しかし,経度ってどのようにして計測したか考えたことあるのかな?グリニッジ天文台が 経度0度となったのは,政治的背景だろうと憶測で分かります.昔,知った時に,緯度の線の引き方と経度の線の引き方の違いが気持ち悪くて,しかも単位が「度゜」の下が「分’,秒”」でしょう?時計と角度がごっちゃになった子は,沢山居たのでは?メルカトル図法上の地図で最短経路を描くのに,太極航路だから直線ではなく,曲線でしょう?小学校で,「こうなるんや!」と天下り的に教えられたような気もします.今は,どんな状態で学んでいるのでしょう? 知っている方がいれば,教えて欲しいですね。 現在,「経度」のできる迄の歴史を知ろうと本を読んでいます.英国でベストセラーのだったらしく1400円の本なのですが,新品は無く高値です.2007.5.28 kawasaki


さて,前ページで始めようとしている「太陽電池パネルを用いた地球に優しいエネルギーで,GPS機能を利用した自動制御ソーラーボート」を製作しようと目論んでいます.ただ身の回りの当たり前になった便利品をむやみに使いこなすのは避けて,少しでも科学・技術に繋がる数学を交えながら,中高生に考えさせられる教材を工夫したいと考えています. それで,まず簡単な課題で高校生に考えさせようと以下の物を作りました.

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※球の展開図を作り,紙でせっせと作り上げたものです.手が器用でなければ,ダメですね.

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※A(北緯60゜,東経130゚)とB(北緯30゜,東経85゚)のように適当に点を打ちます. 生徒にそれを見せて球面上の2点間の距離を測らせる課題ってどうでしょう?彼らは,解いてくれるでしょうか?また,球の半径,緯度,経度を指定すれば,2点間の距離を求める一般化まで考えてくれるでしょうか?

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※このような模型を作りました.測地学では,当たり前の計算手段と思いますが,2点間の距離を求めるのに

(1)空間座標を用いて,一般化をする方法  (2)2面角や三角比を用いて,座標を利用せず一般化する方法

高校生に理解させやすい方法で,何か良い指導法がないかな? 教えてください.(お教え頂いた方の考えも引用をしたいので,お名前も教えてください)2007.5.28.kawasaki


地球は球ではなくて,準楕円体。しかも高度の差があるから,経度の測定管理が大変な様です。測地座標と天球座標の一致もそうですが,地球の軸に対して,少々ぶれるらしく,しかも軸自体もぶれる時があるそうです。GPSのお陰で,目まぐるしく発展して位置把握する座標系が整備され,cmの範囲まで誤差が縮まったと聞きます。ちょっと本の記載を摘んで考えてみることにしよう。 2007.5.29.kawasaki


じぁ,地球は,球ではなくて楕円球であるとします.どのように座標を決定するのか, 少しでも考えてみたくなります。中学校程度ならば「球体」で良いのですが,高校生までとなると,「楕円体座標」のレベルまで精度を高めて考えさせることは必要じゃないでしょうか.

そこで

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上の図は,瞬間の地球の自転軸で座標決めなければならない概略図です.GPSは,それまでも制御計算しているらしいです.  参照「測地学の基礎」西修二郎 著

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地球上の位置Pの測地座標系の直交座標は,緯度β・経度α・楕円体高h(←その地点の標高と今回は考えましょう)から,考えられるはずですね.

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私は,それほど頭の回転が良くないので,断面図xz平面で考えたとします.これで,まず Qの地点のx座標とy座標を算出してみましょう.(修正するのが面倒なので,図のQは(x,)です.)

Qにおける接線の傾きは,tan(β+90゚).しかも,dz/dxでもあります.だから,得られる式は,(b^2)x/(a^2)z=cosβ/sinβです.ここで,L=(a^2)/√(a^2)*(cosβ)^2+(b^2)*(sinβ)としますと,Qのx,y座標は,それぞれx=Lcosβ,y=Lsinβ y={(b^2)/(a^2)}Lsinβと表されるわけですね.√の上の横棒は実際に伸ばしてください.

ん?また変な所で気になることが生じてきました.座標を用いて,Lを上式のように表現しましたが,よく見ると, (acosβ,bsinβ)というのは,偏角βを媒介変数とした楕円上の点の座標です. √(a^2)*(cosβ)^2+(b^2)*(sinβ)は,なんて言ったら良いのか楕円の径rとしましょう.とすると,L=(a^2)/√(a^2)*(cosβ)^2+(b^2)*(sinβ)から,「 L:a=a:r 」という関係が導出されます.どんな楕円でもこの関係が成立するということですよね.座標を使わずに,幾何だけの道具でこの楕円の性質が証明できるのだろうか・・・??  また,ペンが止まって進めなくなりました.どなたか助けてください.

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  2007.6.5.kawasaki


面白そうですね。回転楕円面での高さを「重力の中心から」ではなくて,曲面上の点での接平面に垂直な方向で考えるわけですか。それはまた何故かしら?「高さ」って・・・。などとやはり変なことが気になります。(たまたま見たので。) そうそう。緯度と経度は小学校では太陽の高さ(角度)を測って調べたような。今はどうだろう。「ゆとり」なら一年かけて(一年中ではないので念のため・・・半年で良いのか?)測ったら面白そうだけど。

有り難うございます.お返事が欲しい時に,あるとちょっと嬉しいですね。お手の空いている時で良いので,たまにアドバイスください。

さて,参考資料を全て読んで理解はしていないのですが,確かに地球に固定した地球座標系が必要で,原点は地球の重心にあり,座標軸の1つが自転軸にあります。19世紀の時点では、重心位置を知る術はなく,地表の特定の位置座標値を与えて固定しています。20世紀になってGPSといった宇宙測地技術が使われて,重心位置の精度も上がり,座標軸をしっかり定義した地球座標系が構築できました。今でも、この技術を使って地球上の多くの地点で観測をし,観測点の位置座標の更新を定期的に行い,公表しています。次に,地球の形に近い楕円体を求めることをガウスの頃から始めておりますが,地表の凹凸で取り扱うことができませんので,平均海面でイメージした楕円体を求めています。これも,GPSが次々に改良される度に扁平率の精度が上がってきているのが実態です。さて,測地基準系は,地球座標系と回転楕円体で構成されています。測地基準系に使われる地球座標系は,国際基準で定められた測地座標系というものと回転楕円体を使用しています。この国際基準に従って緯度・経度・楕円体高といった直交座標が分かり,位置の判明に役立てています。しかし,高さについては注意が必要で,海抜何メートルというのが必要ですが,別の体系として「地球の重力場」を考慮した体系が使われています。ですので,鋭い御指摘にはドキッとして,正確にお答えできる自信がありません。

さて,地上でトランシットを用いて測定するには,基準はその地点での水平面と鉛直線になります。この観測点での座標系は,局地座標系と呼ばれており,この場合,原点は観測点になります。従って観測点の鉛直方向がZ軸で,平面上の北向き東向きがXY軸になります。しかし,基本的にZ軸は地球の重心に近い方向を通りますが,観測地それぞれで地下質量分布が異なり,観測点の数だけZ軸もあり複雑になります。そこで,測地座標系での観測量に変換して統一しているそうです。その時に,天文経緯度を使って,GPSデータと測地観測データを混合しているそうです。GPSは,地球座標系の座標値を天球座標系で捉える観測をしています。上記に示しました自転方向の微少変動を複雑に考慮して補正して地球座標系に変換しているそうです。中心を通っていないのは,観測点の接線(水平線)で考えているとお察し下さい。だんだんと語調に自信が保てないのは,そこまでの知識だからです。


でっ!! その経緯があって,上のような楕円の図形が出てきて,気になる性質にぶつかり,フリーズしてしまった分けです。他の方にとっては,たわいない質問ですが,「 L:a=a:r 」が正しいという証明で困っています。因みにtanθを使っていますので,θ≠90゚,270゚です。変なところで止まってしまいました。


さて,小学校の頃,理科の時間に自分の位置の緯度測定は,太陽の南中時の高度を測り,日時計を作ってハイお終いだったような気がします。子供に聞いてみます. 地球儀上の経線はどのようにして測ったのでしょう?これについては,教わっていないのではないでしょうか?「経度に挑戦」という本を読むと歴史が見えて面白いですよ。


面白そうな話なので、質問しといてググッてみました。が,結局よく判りません。というか数学的には気持ちよくない解説ばかりですね。 測地系の座標というのは多様体の接ベクトル空間?なんでしょうけど,それにしてはその基準が曖昧ですね。楕円回転面にするのか,日々動く重力場にするのか,それなら何(いつ?どういう値)を規準にするのか。話はよく判るけど,その落とし所がわかりません。 楕円の幾何は面白そうなのでそのうち?遊んでみます。


「Qのx,y座標は,それぞれx=Lcosβ,y=Lsinβと表されるわけですね.」これおかしくないですか(y座標)?Rが原点で考えることになっていませんか?(木村)

失礼致しました! y={(b^2)/(a^2)}Lsinβでした・・・。元を直しておきますね。んっ。ここに糸口があるのかなぁ


初等幾何的な話,としては,こんなんでしょうか。 楕円上の点をとる方法としては, 焦点F,F'からの距離の和を直径とし,FF'の中点を中心とする円を描き, その円上の点Qに対して,焦点Fと点対称な点をRとし,直線RF'を引きます。 で,FRの垂直二等分線との交点をとれば,それが楕円上の点Pとなります。 そこからどうなるか?ですね。

この話をしていて,じゃあ双曲線も同じようにできるのか?って話で少し盛り上がりました。 面白いですね。



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Last-modified: 2008-02-26 (火) 17:58:37 (4962d)