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今、方べきの定理を指導しているのですが、どうも方べきという言葉にそぐわない、そこで次のような作図問題はどうかと思いました。図の正方形と同面積の長方形で一辺がABであるものを作図する。逆に長方形を与えておいて、同面積の正方形を作図するのでもいいかな。接線を引く作図の確認にもなるし。

話は変わりますが、PA・PBは本当は内積で考えて、円の内部は負とするのがいいのでしょうね。

えっと,よく分からないのですが,この図で P というのはどこの点ですか?

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さて、左の図はよく教科書に載っている「方べきの定理(1)」の図です。何が(1)なのかって、それは点Pが円の外にあるっていう事らしい。だから円の内側にある場合は(2)なのだ。えっへん。で、何故か円はOという名前が付く。だからといって鴛鴦の遊びではないのだ。

そんなわけなんで、Pは当然のようにABとCDの交点で、ABCDは円O上の異なる4点であるっていうことです。

PA*PB=PC*PD
相似なんで当たり前。っていう定理です。ただ使い出はあります。
それでも、チェバやメネラウスに比べると地味かも(むらいの私見)

まあ「方べきの定理」は確かに一般的な定理だけれど、もう少し説明があった方が良いかも。私的には「あたりまえ」って思っていることの方が不思議だっていう感じが大切だと思うのです。

ううむ,鴛鴦じゃないことはよく分かりました。しかし,下の絵と上の絵をくらべて上の絵に円を描きいれると,そいつはどこに来るんだろう?直線 PD を下にずらして円と接するようにしたときには,C と D が一致して,2乗(正方形)が現れる。あ,それが 方冪 ってことなんだろうな。・・・疑問が解決しないのでいい加減なネタに落ちてしまった。

すみません、話題を2つ書いてしまい混乱してしまいました。1つは方べきは本来等面積の変換方法であったのではないかという考え方です。それを作図問題としてみました。もう1つは方べきはポテンシャル論ではないかという考え方で、中心O半径rと点Pの位置が決まったとき、power=PO^2−r^2、というポテンシャルを持つという考え方ではないかということです。このとき円の内部にPがあると、powerは負の値になります。ちなみにpowerの訳が方べきです。

つまり上の図でA=Bの場合を考えれば、PA*PB=PC*PD=(点Pの位置により一定)が分かるってことですね。それをポテンシャル?と呼ぶわけですね。中心からの距離による一定な値を持つ。ですね。

そうですね、それでPA,PBは長さではなくベクトルとして考えて、内積とするとPが円の内部にあるときも区別できるということです。

区別よりも連続性?重視っていうことでしょうか。先にも書きましたが、どう使うかってところですね。

「等積変形」っていうのは初等幾何では有効な手ですよね。そこに連続性をどう使うかってところが味噌かも。円の場合も中心を決めるというよりは、中心が通る線をどう定めるかがポイントですものね。

実は方べきにこだわっているのは訳があって、ネタ本があるのです。20年位前に手に入れたギリシャの教科書らしい本が。当然ギリシャ語はわからないですが、図と式から内容を考えると楽しいです。やっぱりギリシャなのか、幾何中心なのです。2次方程式理論さえ円を使って解説しています。でその本が、方べきからスタートしているのです。その辺に何か方べきに対する感覚の違いがあるのではと思う次第でした。

そういえば、 べきと根軸 というページがあります。何故か?分かりにくく書いてありますけど、こういう感じなのでしょうか?

はい、まさにその教科書と似た記述でした。この根軸のところが不明なところがあって悩んでいたのでよくわかります。この根軸上にある任意の点から2つの円にひいた接線は等しくなるというやつで、2円が交わっていれば2交点を通る線ですね(証明は簡単)。ちなみに、この2つの円の中心から根軸上にひいた線分の長さの自乗差は常に(2円の中心間の距離)×(2円の中心の中点と根軸と中心間の直線との直交点との距離)×2になるので等しいという理論だと思います。


方べきと等積.jpg

さて、Grapesを使って方べき等積変形のおもちゃを作ってみました。こうですよね?ついでにこのGrapesのファイルも上げて置きます。

お見事ですね。ちなみに垂線BFは円の性質で簡単に引けます。

やっと全容判明&疑問氷解。こういう定理の名前とかすっかり忘れてますからねえ。いい勉強になりました。


作図問題を考えていてつくった軌跡問題もあります。同一直線上に3定点ABDがあり、DはABの外部にあるものとします。このとき2点ABを通る円C1(可動)とこのC1の中心とDを直径とする円C2(C1に連動)の交点をP1,P2としたとき、P1,P2の軌跡を考える。これ式で考えるときびしぃです。


添付ファイル: filehoubeki2.gps 833件 [詳細] file方べきと等積.jpg 857件 [詳細] fileimage.jpg 826件 [詳細] filehobeki.JPG 798件 [詳細]

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Last-modified: 2006-03-21 (火) 15:44:40 (5669d)