ちょっとした巡回

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ちょっとした巡回

これは、某「ゲーデルエッシャーバッハ」の次の本に確か載っていた問題がらみ。 某所で話題になっていて少し面白いかも。 ネタとしては本来の路線に戻っています。つまり、小学生にも中学生にも高校生にも遊べる数学ネタっていうところでしょうか。

問題

1. まず，0から9までの10個の数字から2種類以上を重複を許して10個取ります．
   ただし,少なくとも1つの数字は2個以上取るものとします．
2. 次に，取った数字の出現個数を0から9まで順に並べます．
   取らなかった数の個数は当然0とします．
3. 上で調べた個数に表れる数字の個数を0から9まで順に並べます．
4. 以下同様に1つ前で並べた数の個数を並べることを繰り返します．

例えば、

1. 勝手に10個選ぶ
       7 8 3 5 5 0 9 1 1 1
2. 0〜9の出現回数を書く（0が1個，1が3個，2が0個，3が1個，，，）
       1 3 0 1 0 2 0 1 1 1
3. 上のlistでの0〜9の出現回数を書く（0が3個，1が5個，2が1個，3が1個，，，）
       3 5 1 1 0 0 0 0 0 0
4. 上のlistでの0〜9の出現回数を書く（以下同様）
       6 2 0 1 0 1 0 0 0 0
       6 2 1 0 0 0 1 0 0 0
       6 2 1 0 0 0 1 0 0 0 （後は同じ繰り返し）

という具合です。 さて、この例のようにこの操作を何回か繰り返すとパターンは安定します。

1. ほんとに安定するかな？
2. それはなぜでしょう？
3. 一体全体どうなっているのでしょう？

っていう話です。

問題その２

次の文中の（　）に正しい数字を書きなさい。（解は複数あるかも）

この文には0が（　）個、1が（　）個、2が（　）個、3が（　）個、4が（　）個、
5が（　）個、6が（　）個、7が（　）個、8が（　）個、9が（　）個あります。

例えば、

この文には0が1個、1が2個、2が3個、3が2個あります。

のようになれば「正しい」というわけです。

ふむ，これの2進法バージョンは成立するかな？3進法だと？

16進でも7進でもね。なかなか面白いネタでしょう。ちなみに、英語で書くバージョンもあるんですが...。

回答解説をどうぞ。色んなバリエーションでも結構です。英語の先生には是非とも英語バージョンを。

In this sentence there are twelve "a", thirteen "b",....

という感じです。もちろん12とか13というのは出任せです。

解答や解説は巡回問題の種あかしでやることにしましょう。