パスカルの三角形とフィボナッチ

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パスカルの三角形とフィボナッチ

上に書き足していいのかな？去年，勤務校の土曜講座で取り上げた話の一つがパスカルの三角形ネタでした。まだ残骸がのこっているのでご紹介。

http://www.h-fukagawa.com/toyomath/2003/pascal/pascal-mokuji.html

ついでに，パスカルの三角形と2進法について。これは土曜講座の準備をする中で出会った話題を，後日生徒向けプリントの形にまとめてみたもの。

http://www.h-fukagawa.com/documents/mod2pascal.pdf

この手のものは話をした「後」に完成することが多い。で，完成したプリントをまだ利用したことがないのだ。

偶然の産物だと思うのですが、 面白い数字達が絡んでいる様子をとある本から見つけました。（よぉ〜く考えてみるとなんだぁですが） パスカルの三角形を並べて少し斜交いに数字を見て加えると図のようなフィボナッチ数が 現れます。

ついでに線分と三角形および四面体は、それぞれ簡単な１次元図形、２次元図形、３次元図形です。（シンプレックス）

線分の場合は２つの端の点（０次元の境界要素）と内部が１次元１つで構成されています。 三角形は３つの頂点（０次元）と３つの辺（１次元）で内部（２次元１つ）で構成されています。四面体は４つの頂点（０次元）と６つの辺（１次元）と４つの面（２次元）と内部が（３次元１つ）です。・・・・パスカルの三角形の１部分になっています。 では４次元のシンプレックスは？

よく分からんのですが、この調子でいけば５つの頂点（０次元）と１０辺（１次元）、１０面（２次元）、５空間（３次元）、１胞（４次元）→（というみたい）。 不勉強で理解できませんが、あまりに綺麗だったのでご紹介ということです。（by　kawasaki）

これはもしかして「あの本」ですね。『数の本』J.H. コンウェイ (著), その他 単行本 (2001/12) シュプリンガー・フェアラーク東京 じゃないですか？違うかもしれませんね。色んな所で紹介されていますし。多胞体の話は、昨年かなあ、久しぶりに会った同期の先生に聞かれて少し調べましたが感覚の練習としては面白いですよね。

n次元のシンプレックスについて，トポロジーだけを考えるのだったら次のようにすればいいのかな。

n = 1:

頂点の数 2，座標は (0), (1)

n = 2:

 頂点の数 3，座標は (0,0), (1,0),(0,1)

n = 3:

 頂点の数 4，座標は (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,1,1)

n = 4:

 頂点の数 5，座標は (0,0,0,0), (1,0,0,0), (0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)

n = 5:

 頂点の数 6，座標は (0,0,0,0), (1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),
 (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1)

で，辺の数は _(n+1)C_2, 3角形の面の数は _(n+1)C_3, 内包する4面体の数は _(n+1)C_4, ... と考えればいいみたい(_ は下付の意味)。ほほう，それでもってパスカルの三角形の斜め切りが出てくるのか，なるほどなるほど。時間がない時ほど遊んで発見しちゃうんだよなあ。さあ，明日の準備準備と・・・　あれ，もう今日じゃないか！

そうですねえ，例えば「辺」だけを取り出してみれば，次元が１つ増える＝頂点が１つ増える？と，増えた頂点と増える前の頂点を結ぶ辺が新しく出来るので，「１つ次元が上の辺の数＝辺の数＋頂点の数」となるということですよね。足し算だからフィボナッチ。いやいや、リュカ数（でっしたっけ）でもその他のものでも良いのだけど。あとはこの「頂点・辺」を「辺・面」「面・体」・・・としても同じだというのがシンプレックスのシンプレックスたる所以でしょうかあ。

要するに次元が増えるといっても独立変数の数が増えるだけなので，こういうものは機械的に計算できるわけですね。他にたとえばn次元の球の体積の問題は，統計力学で重要な役割を果たしたりします。