三円定理

三円定理

たったの三円の定理です。三円で買えるものというと，あの王水も有名ですね。 高貴な金でも溶かすという悪魔みたいな液体が1.8L でたったの三円です。え，なんのこっちゃって？１升３円なんですよ。わからないかなあ，１硝３塩ですよ。あ，話がわけのわからない方向に来ちゃった。えっと，これは日経サイエンスからの引越しなのだ。

初等幾何の問題を考えたりすると、いつも高校生の頃に知った「三円定理」を思い出し、そういえばあれは「日経サイエンス」に載っていたのだと思い出し、「三円定理*1」はメネラウスで解決したけど、・・・

三円定理のほうは、平面図形としてでなく、3次元で考えると、ほとんどトリビアルな説明ができるというネタで読んだような気がするのですが、あれはどの本だっただろうか。

面白そうな話ですねえ。まさにネタですねえ。うーんと、どう考えれば良いのだろう。

例えば火星*2と月と地球だと、そのうちの二つが同じ大きさに見える３つの点が一直線上に並んでるっていうことがトリビアルに分かるわけですよねえ。うーむ。頭が固くなっているかも。

3円をいずれも球であるとして、3つの球の中心を含む平面を考えましょう。つぎに、もうひとつの平面を用意して、3つの球にすべて接するように置きます。つまり、ビー玉やテニスボールとピンポン玉がちょうど半分埋まっている地面があって、その上から板をかぶせる感じ。そしたら・・・。あ、時間がない！

この３つの円は３つともに共通する接線がひけるのですか？それで内外を変えた接線が３組あるわけですか。それとも中心が同一直線上にあるのかな？

互いに重ならない3つの円の任意の2つについて、共通接線は2本引けますね。円の大きさがすべて異なっていれば、それぞれの2本の共通接線の組は交点を持っています。こうしてできる3つの交点が1直線上に乗るという話です。まあ、とりあえず大きさの異なる3円を描いて共通接線を引きまくってくだされば分かります。

この定理を画像にしました。ごらんください，一目瞭然。

共通外接線に限定するのですか、わかりました。

「外」でした！どもども。こういうときに素人のあいまいさが出てきます。ん？「内」で考えるとどうなるんだ？3円の中心を頂点とする三角形の各辺をある比で内分した点ができるけど，あまり面白くはないかな。

細かいところをつっついてしまうようですが、この円同士は重なっていてもいいような（共通接線が１本以下は除く）気がしますが。

数学やる人は細かいところをつつかなければいけません。って，おいらが言ってどうする！とりあえず下の図のような場合もあるってわけですね。プログラミング言語は細部のミスを処理系が教えてくれるけど，自然言語はアバウトに使ってしまえるからなあ。あ，これでも自分の専門に関する概念規定なら厳密に表現するんですよ。

二組の2円については共通内接線，他の一組の2円については共通外接線の交点をとると，やはりこれらの3点は一直線上に並びますね。

おおすばらしい！拍手。

さてここで本題にもどります。3円の任意の2円の共通内接線の交点をすべて（3つ）とったときには、それらは直線状に並ばず、外接線のみ（最初のふたつの図）、1外接線＋2内接線の組み合わせでは交点が直線状に並ぶようです。このことと、次のことは密接に関係があるようです。3点が任意の位置に置かれた平面を直線で区切るとき、3点すべてが互いに異なる側にあるようにすることは不可能である。例によって表現のまずいところがあるかも知れませんがご容赦。

この２つめの図を見て気付いたことがあります。メネラウスと酷似していると（証明もそうだから当たり前といえばそうだが…）。すべて外接線のときは三角形と交わらない直線、内接線２組のときは２辺と交わるとき。そうすると、そうなんです！残りはチェバが適用できるはず。円の中心と共通接線の交点を結ぶ３直線は１点で交わると…。定理の拡張ができそうですね。

説明会だなんだかんだで、しばらくご無沙汰でした。3円定理が膨らんでますねえ。それにしても、３球の共通接平面ですか。なるほど納得すっきり、サンキュウです。対になった二つの３球接平面とその交線、それに、３つの円錐、ですね。トリビアル。さて、三円定理の正体がわかれば、話は簡単ですね。3つの球に接する平面の場合、「任意の二つの球面の間を通る」ことは不可能ですから、二つ上の話はこれでお終い。最初の紹介に書いたとおり、私はこの定理の証明を先輩に教わり、そこでメネラウスの定理を知りました。ベクトルでは重宝したものです。チェバもメネラウスも一周グルッとズバッとスリッとグリッど、すべてお見通しだア！ではなくて、ループで覚えませんか？

ループでということで、私は授業ではチェバ・メネラウスに加えて、角の二等分と外角の二等分も一緒にして、三角形一周の定理として覚えさせています。なぜかうちの使っている東○書籍だけ、チェバ・メネラウスが載っているのです。

「東○書籍だけ、チェバ・メネラウスが載っている」のです！ってそうなんですかあ。そういえばうちのも、、、。他の会社のは載っていない？うーん。

考えられる殆どの線を引いてみました、ごちゃごちゃになってしまってすいません。これでもまだ３本引いてないのです、１つの内と２つの外からなるチェバです。ところで、話は変わりますが、なぜトレミー（ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΥ）だけ愛称なんでしょうね。

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なんだかすごいことになっていますね。もう少し整理してください。ここでいう整理とは、画像の大きさを考えるってことです。ま、配置ももう少し考えて欲しかったりしますが、そこはそれ、五月蝿い事は言わずにおきましょう。さて、トレミーは英語の辞書にもトレミーと、、、「それみー」なんて関西では言ったりします。つまり、多くの英米人は「愛称」だなんて思っていない。シーザーとカエサルみたいなものではないですか？歴史の人たちには悪いんだけど、所詮その程度のもんだよなって感じがしますが。

ついでに、有名なGCのような処理が３Dで出来るフリーのソフトはないでしょうか？って単純にトリビアルなイメージを作ろうと「思った」けど、大変だなあということで、、、

すいません、やっぱり大きすぎましたね、縮小しました。歴史ではプトレマイオスといって、数学ではトレミーになってしまうのが、やはり違和感があります。ちなみに上のはギリシャ式スペルです。ギリシャの本では正式名称になっていました。更に普通いわれている対角線の積の公式より、商に関する公式の方が真の公式のように書いてあるようです。

丁度方べきのことを調べていたら似たような話がありました。根軸は共通内接線の交点を通っており、更に根心という存在もありました。

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