整数の分割のアルゴリズム

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整数の分割のアルゴリズム

ビリヤードのパズルを力技で解くプログラムを作る為には， 所謂，整数の分割と言うことを実現しなければなりません。

例えば，元々のビリヤードの玉を5個使って1から21まで･･･という場合では，

21=1+2+3+4+11=1+2+3+5+10=1+2+3+6+9=1+2+4+5+9=1+2+3+7+8=1+2+4+6+8

という具合に（これで全部かなあ？）合計が21になる5つの玉の組合せをまず 候補に上げなければなりません。

これは21と言う自然数を5つの異なる自然数の和で表現すると言うことになります。

どういうアルゴリズムで作れば無駄なく作れるでしょうか。

ちなみに，上の例では，

1. まず，1+2+3+4として，残りの11を加えてこれをトップバッターにする。
2. 次に，11を一つ減らして，4を一つ増やして見る。全体の和は変わらない。
3. これを繰り返すのだが，例えば，3+6のような形が出てくれば，4+5と変えることができる。
4. ぶつぶつ と言う具合に適当に並べています。

でもこんな書き方（アルゴリズム）では，数が大きくなると大変そうだ。 異なる自然数の和と言うのも面倒だし，

21=1+2+3+4+11=1+2+3+5+10=1+2+3+6+9=1+2+4+5+9=1+2+3+7+8=1+2+4+6+8

の代わりに

6=0+0+0+0+6=0+0+0+1+5=0+0+0+2+4=0+0+1+1+4=0+0+0+3+3=0+0+1+2+3

を考えれば少々楽じゃないかなあと考えました。これは図にすると，

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のようなヤング図形のようなものになりますね。 でもヤング図形ではないので少し調べると， フェラーズ図形と言うようです。 そこで，このような和を作るプログラムを組んだのですが…。 残念。時間切れです。急な仕事が舞い込んできました。 ではこの続きはまた。

そうそう。いろんな方法を考えて見てください。 一緒に上手い構成法？アルゴリズムを探してください。 ではでは。

肝心なものを忘れていました。rubyという言語で組んだプログラムです。 置きました。