平面図形の問題(1)

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平面図形の問題(1)

　さて、たまには「教科書」に沿った話題を。

　私が中学3年生のころ一週間思い悩んだ問題が某社の問題集に「応用」として載っていました。「当然」私が考えた解法とは違うわけで、模範的？な解答でした。

　さて，それにしても「応用」とは...。ちょっとびっくりしました。そんな大層な問題ではないのですけど。それとも他に適当な問題（応用問題と呼べるような）が無かったのでしょうか。なかなか疑問です。教師になり立てのころに当時の生徒にレポートさせたときは，何種類もの（勿論不備なのもありましたが）解法が出てきて面白かったことを覚えています。さて，ここに集った皆さんはどのような解法を見せてくれるでしょう。「乞うご期待」です。

　というわけで、今回は次の問題の解法を出来るだけたくさん挙げましょうという話です。

【問題】 　三角形ABCにおいて，辺BCの中点をMとし，角AMB，角AMCの二等分線を引き，それぞれが辺AB，ACと交わる点をP，Qとするとき，PQ//BCを証明しなさい。

　※それぞれの二等分線は直線ABとは2点で交わりますが，辺AB，ACとは一点でしか交わりません。

です。図も省略。ちなみに中学生だった私は「補助線」を引いて証明しました。

やった！できましたよ。三角形の面積から攻めて成功。

おめでとうございます。面積比で攻めたのでしょうね。他にも色々ありますよね。本質的にはどうなんでしょうか？

絵が付きましたねえ！嬉しいなあ。できれば角の表示？が二種類あると良いのだけどなあ。丸と太線の？丸では分かりにくいなあ。

やったあ。角の表示が二種類になりましたね！えへへ。ネタ出しして文句ばかりですけど、このレスポンスの良さが面白いですね。そろそろ誰か解答を付けてくれないかなあ。なんて。

普通と考えられるのが、角の二等分線と辺の比、そして平行線の辺の比の逆、とくる順ですね。

というわけで，TeX?で作図してみました。

TeX で作図するって，どういうふうにやるのでしょう？ LaTeX だと picture 環境というかなり制約の大きい描画環境がもともとあるけど，幾何学的なものにはほとんど使えないし，eepic.sty などで拡張はできるけどちょっと面倒。結局他の道具で PS ファイルを作って嵌め込むというやり方が一般的ですよね。

私は，tDBさんの作られたemathパッケージを使用しています。emathのウェブサイト http://emath.s40.xrea.com/ で，sample.pdfおよびsampleP.pdfを入手して読むと，どんなことができるかがわかります。中学校・高校の数学のプリントを作るには，とても便利です。

ますます本題から遠のきますが(^^;;　このパッケージはすごいですね。初等的な代数幾何に関する記法や作図をほとんどカバーしている！TeX で計算をやらせるのはときどき見ますが，1次,2次曲線の交点を求めさせたり，関数をプロットさせたりとは，ちょっと驚きます。コンパイルしてから pdf とか png に変換するわけですね。なるほどなるほど。

　emath良さそうですよね。でも使えてません。因みに上の図はピクチャ環境でbezier様式？です。計算と書式はとりあえあず十進ベーシックにお願いしています。量産体制（基本練習問題作成など！Ｋ文式？）だと楽なんです、、、。本当はrubyにお願いしたいんのですがなかなか到りません。

AP:PB=AM:MB=AM:MC=AQ:QCは書いちゃだめですよね？