立方体の展開図

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よくある問題で誠に恐縮ですが、違った視点での厳密な証明をお手伝いして頂ければ幸いと考えております。三角比と２次関数の最大・最小の融合問題として使えると思うのですが如何でしょうか？

これは、一辺の長さが２の立方体です。展開図の外周長さは、２８になります。

これを面についても切り口を入れて良いとして、色々なパターンで展開図を考えたとします。例えば

これも外周が２８になります。そこで、もう少し工夫をすると

これは1.41*16+4=２６．５６となり、少し短くなりました。でももっと短くできますので考えてください。またそれが最小になるという証明をしてください。

少し考えてみました。短くすることはできましたが，証明というと厄介ですね。面白い問題です。

そうなんです。切り口を入れた面を座標平面として考えるべきかなと思って、安直に「最短なるべきもの」として思い込んでしまって進めるのも嫌で・・。案の定お手上げでどなたかエレガントな明解な証明をして頂けないかと助けを求めています。