2008(Fractal)3学期

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2008(Fractal)3学期

平成21年1月８日，15日　2009.Jan.８.15

今学期は，２月５日にＴＶ会議を実施することと今までの成果のレポート作成に取りかかる体制に入りました．先3週間は，研修旅行や中間考査で，このlaboは開講されません．

�ヾ�何学的な立体は，フラクタル次元を相似性次元として算出することが容易いです．

正四面体のフラクタル図形(ｼｪﾙﾋﾟﾝｽｷｰ3D)の場合は，縮小率と個数の関係がlog_2 4,log_4 16,log_8 64というように手計算で簡単にできます．

つまり２次元になります．写真で示すように平面になるからとは関係ないように思えます．

正20面体の場合は，少しややこしく縮小率が1/(2+黄金比)で個数が12の累乗となりますから，excelで計算していました．

つまり２．５８次元となります．

次に平面と稜線の部分を見ますと，それぞれがまたﾌﾗｸﾀﾙ図形になっていることに気づくことになりました．縮小率の計算手段が分からず，友達に聞いてそこにも黄金比が現れたことに感動していました．ちなみに，コッホ曲線・シェルピンスキーのギャスケット擬きのそれぞれの次元の値を算出すると

１．４４次元，１．１４次元でした．

(実は，私は平面らしき見える方の次元が低く出たことに気持ち悪く感じていたのですが､彼女達はどう感じているか分かりません)

�⊆，法げ爾亮命燭蓮ず群緻邱盥擦�ら自転車で数分の嵐山渡月橋です．この付近にフラクタル次元を測定できるような現象がないか探させました．

欄干から周辺を見渡すと，球形の物体が見えています．さっそく，その次元測定に取りかかりました．

また，本校には偶然にも京都府の河川水系図を記録・研究し続けてきた地理の先生がおられたので，渡月橋付近の水系図を入手し，ボックスカウンティング法を使って次元測定をしました．(簡単な測定方法は写真に記載)

また，ホートンの法則を使って分岐比の確認もしました．ホートンの法則は，河川の分岐に関する法則で，アメリカの地理学者 Robert Elmer Horton（1875-1945）が発見しました。 水系図から，

(1)源流を1次の流れとする。

(2)1次と1次が合流すると2次とする（一般に，n 次とn 次が合併すると n+1 次とする）

次数nとその次数の流れの数の分布を見ると，河川の分岐比が一定になるというのが，この法則です。河川の水路が次数に対して大凡等比数列になります．平坦な地を流れる大河ナイル川は2の前半の数値が出たのに対して，やや丘陵地にある桂川では2.77でした．

��もう一つのグループは，カオスゲームの検討です．彼らが拘っているのは，縮小率でした．Polhemからの課題を克服した後，沸々と疑問が沸いたみたいです．

シェルピンスキーのギャスケットが，縮小率0.5です． 正方形バージョンの場合も0.5(これが正解なのか悩んでいました)，正５角形の場合は，黄金比，正６角形の場合は0.667(2/3)，･････と正多角形とこの縮小率に何か関係がないかを考えていました．

�い發Π譴弔離哀襦璽廚蓮ぅ泪鵐妊襯屮蹇悉弦腓房罎�れ，相似性と芸術性の両方が鮮やかに現れるエリア(座標と拡大率)を探していました．拡大すると描画に時間を要するので，10台位PCを同時に使用して悪知恵を働かしていました．やはり面白いものがヒットするもので，新たな収束エリアが見つかり，そこにマンデルブロー集合が現れていたので喜んでいました．残りの２名は，ジュリア集合に興味を示してどのような集合なのか，どのような収束形態になるのか，プログラミングの解読と集合の特徴を苦戦しています．

平成21年２月５日　2009.Feb.５

今日は，4回目のＤＬです．生徒達もこのプロジェクトを通して，高校で学ばないような数学も学び，数学を活用する取り組みを進めてきました．高2以上で学習する単元も先取りして，いかにして数学理論や活動の仕組みを伝えるかに苦しんできたはずです．これらを他国の生徒達との協同研究にしたことは，彼らのモチベーション向上に繋がったと思っています．

画像を見てもらうと，マンデルブロ集合の作成プログラムを利用して，領域と拡大縮小を 変えて，至る処にある集合を見つけた生徒やカオスゲームの多角形が接する場合の線分比の特徴を調べた生徒の発表も出てきました．

(途中，その比の意味が分からないということで質問を受け，答えることに窮する場面がありました．興味を持って自分が理解していても，説明できなければ無意味であるということです)

相手高は，ジュリア集合の説明をしてくれました．何人か興味を持って取り組んでいますので，説明を聞いて大分と理解が進んだ様でした．

さて，ちょっと２国間で共通テストをしてお互いの学力レベルの比較もしてみたいとも考えています．また，この春に彼らは来訪する計画みたいですので，その打合せも兼ねて次年度は少し内容を工夫してみようと考えています．