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確率の世界には数多くのパラドックスがあります。その大半は,数学的に導かれる結論と
人間の直観とが一致しないことから起こるものです。そのひとつに有名な
「モンティ・ホールのジレンマ」があります。それについて考えてみようというページです。突っ込み,疑問,茶々などは記事の下のほうに,自由に書き足してください。
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*パラドックスの内容
登場人物や小道具のバラエティはいろいろありますが,どれもパターンは同一です。
**登場人物(2名) あなた,真実を知るえらい人
**小道具 中身が秘密の箱3個,ただしそのうちの1個だけに宝が入っている
**芝居の情景
あなたは今,3個の箱の前に立っています。
箱のひとつだけに宝が入っていることをあなたは知っています。
しかし,どれに入っているかはわかりません。
あなたは当てずっぽうに1個の箱を選びました。
えらい人が現われ,選ばれていない2個の箱のうちの1個を指差して言いました。
CENTER:''「この箱には宝は入っていない」''
**さて問題
えらい人が別の箱を指して「これには入っていない」と教えてくれた時点で,少しでも自分に有利に振舞おうと思ったら,あなたは一体どうしたらよいのでしょうか?
+ 選択を変更したほうがよい
+ 変更しても別に確率は変わらないのだから,そのままでもよい
**お答え
もう答えちゃいます。
答えは,「選択を変更したほうがよい」です。ちょっとびっくりですね。この筋書きは,アメリカのクイズ番組の最後で司会者のモンティ・ホールが賞品を出すのに使っていた方法だということです。3つのドアがあり,出演者が当たりのドアを開けると賞品がもらえるという趣向で,そこに司会者が「助言」するという仕掛けです。
出演者がどう振舞ったらよいかというのは,重要な問題ですね。ある人が「選択を変更したほうが有利である」と雑誌のコラムに書いたところ,
数学者を含む多くの人が「確率は変わらない!」と主張して大騒ぎになりました。
しかし,結局はこの数学者は誤っていたわけです。
さて,みなさんはこの問題をどう考えますか?
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COLOR(#fe891c){いよいよ登場ですねえ。わくわくします。普段は見るばかりの方も、ここはほれ、参加して下さい。と、そこで,私からも一つ。この問題の条件のうち,「箱が3つ」というのはどういう意味があるのでしょう。あるいは意味がないのか?}
COLOR(#006798){おっと,さすがに目の付け所が鋭い。もちろん箱が2つならこの問題は成立しないから3以上でなければなりませんが,じゃあ4とか5だったらどうなるんだ?・・・と考えることは,問題の核心を探る上でヒントになるでしょうね。しかし,より大きな数への拡張には,ある勘どころ(「落とし穴」ともいう)がありますから慎重に!}
COLOR(#006789){「変わらないから何もしないでいい派」の主張は,たぶん次のようなものでしょう。}
自分が選んだ箱に宝が入っている確率は 1/3 だ。
えらい人がその後何をしても,当たっている確率は変わらないはずだ。
COLOR(#006789){これに対しては,''モンティの問題設定とは直接の関係はないのですが,''似た設定の次のような議論が浮かんできます。}
目隠しして振ったサイコロの目を 3 と予想して掛け金を払った。
予想が当たっている確率は 1/6 だ。
その後目隠しをとって見た。そしたら 3 が出ていた。
確率は1だ。
COLOR(#006789){うーん,なんか変ですね。確率を教わった中学生が言いそうだ(大人もいうかな)。だけどこの考えに対してどう応じればいいのでしょうか。そもそも確率って何なんでしょうか?}