確率の世界には数多くのパラドックスがあります。その大半は,数学的に導かれる結論と 人間の直観とが一致しないことから起こるものです。そのひとつに有名な 「モンティ・ホールのジレンマ」があります。それについて考えてみようというページです。突っ込み,疑問,茶々などは記事の下のほうに,自由に書き足してください。
登場人物や小道具のバラエティはいろいろありますが,どれもパターンは同一です。
あなたは今,3個の箱の前に立っています。 箱のひとつだけに宝が入っていることをあなたは知っています。 しかし,どれに入っているかはわかりません。 あなたは当てずっぽうに1個の箱を選びました。 えらい人が現われ,選ばれていない2個の箱のうちの1個を指差して言いました。
えらい人が別の箱を指して「これには入っていない」と教えてくれた時点で,少しでも自分に有利に振舞おうと思ったら,あなたは一体どうしたらよいのでしょうか?
もう答えちゃいます。
答えは,「選択を変更したほうがよい」です。ちょっとびっくりですね。この筋書きは,アメリカのクイズ番組の最後で司会者のモンティ・ホールが賞品を出すのに使っていた方法だということです。3つのドアがあり,出演者が当たりのドアを開けると賞品がもらえるという趣向で,そこに司会者が「助言」するという仕掛けです。
出演者がどう振舞ったらよいかというのは,重要な問題ですね。ある人が「選択を変更したほうが有利である」と雑誌のコラムに書いたところ, 数学者を含む多くの人が「確率は変わらない!」と主張して大騒ぎになりました。 しかし,結局はこの数学者は誤っていたわけです。
さて,みなさんはこの問題をどう考えますか?
いよいよ登場ですねえ。わくわくします。普段は見るばかりの方も、ここはほれ、参加して下さい。と、そこで,私からも一つ。この問題の条件のうち,「箱が3つ」というのはどういう意味があるのでしょう。あるいは意味がないのか?
おっと,さすがに目の付け所が鋭い。もちろん箱が2つならこの問題は成立しないから3以上でなければなりませんが,じゃあ4とか5だったらどうなるんだ?・・・と考えることは,問題の核心を探る上でヒントになるでしょうね。しかし,より大きな数への拡張には,ある勘どころ(「落とし穴」ともいう)がありますから慎重に!
「変わらないから何もしないでいい派」の主張は,たぶん次のようなものでしょう。
自分が選んだ箱に宝が入っている確率は 1/3 だ。 えらい人がその後何をしても,当たっている確率は変わらないはずだ。
これに対しては,モンティの問題設定とは直接の関係はないのですが,似た設定の次のような議論が浮かんできます。
目隠しして振ったサイコロの目を 3 と予想して掛け金を払った。 予想が当たっている確率は 1/6 だ。 その後目隠しをとって見た。そしたら 3 が出ていた。 確率は1だ。
うーん,なんか変ですね。確率を教わった中学生が言いそうだ(大人もいうかな)。だけどこの考えに対してどう応じればいいのでしょうか。そもそも確率って何なんでしょうか?
モンティからさらに逸れるのか少し戻るのか,あるいは上の問題提起「みる前・みた後」も絡むのかわかりませんが,人から聞いていまだにすっきりしない次のような問題もあります。
おじさんが親戚の子どもを前に,お年玉袋を二つ並べて言った。 「一方のお年玉袋には他方のお年玉袋の2倍の金額のお金が入っ ている。好きな方をあなたにあげるので,選びなさい。」 子どもが選んであけてみると,1000円入っていた。おじさんはまた言った。 「1度だけ,交換してもいい,というチャンスを与えよう。もちろん, 交換しなくてもいいよ。」 子どもは考えた。 「2つのお年玉袋のどちらを選ぶかは,まったく五分五分だった。 だから,取り替えたときに金額が2000円になるか,500円になるか はまったく五分五分だろう。だったら,期待値を考えれば1250円に なるから取り替えた方が得だ。」 横で見ていたこの子のお姉さんに,おじさんはまったく同じゲームを 仕掛けた。姉がお年玉袋を選んで開ける直前に,おじさんは言った。 「今度は,袋を開ける前に取りかえるチャンスを与えよう。どうするかい?」 姉は考えた。 「弟の考えたことは,1000円という金額には無関係だ。袋の中の金額をx円 としよう。取り替えたときの金額は,0.5x円か2x円かのどちらかで, その可能性は五分五分のはずだ。だから期待値は1.25x円となり,取り替え た方が得だ。」こういって,封筒を取り替えようと手を伸ばした。 が,そこでまた考えた。「上の論法が正しければ,一度取り替えようと決心 して,でもまだ封筒を開けていないときに,改めて考えてみれば, また取り替えた方が得だということになる。そこでまた考えてみれば 取り替えた方が得になって・・・」 とうとう姉は2つのお年玉袋の間で身動きがとれなくなってしまった。 いったい上の考えのどこが悪かったのだろうか?
「選びなおし」が絡むところがモンティと少し似ているかな?でもモンティと違って,選んでから以後新たな情報は何も与えられていないので,そこで取り替えた方が得になるというのはいかにもおかしい。上の姉弟の議論が間違っているはずだが・・・。意地の悪いおじさんと考え深い子どもたちですが,だれかすっきり説明できる方がいたら教えてください。