三円定理のバックアップ(No.1)

三円定理

たったの三円の定理です。三円で買えるものというと王水も有名ですね。 1.8L でたったの三円です。え，なんのこっちゃって？１升３円なんですよ。わからないかなあ，１硝３塩ですよ。あ，話がわけのわからない方向に来ちゃった。えっと，これは日経サイエンスからの引越しなのだ。

初等幾何の問題を考えたりすると、いつも高校生の頃に知った「三円定理」を思い出し、そういえばあれは「日経サイエンス」に載っていたのだと思い出し、「三円定理*1」はメネラウスで解決したけど、・・・

三円定理のほうは、平面図形としてでなく、3次元で考えると、ほとんどトリビアルな説明ができるというネタで読んだような気がするのですが、あれはどの本だっただろうか。

面白そうな話ですねえ。まさにネタですねえ。うーんと、どう考えれば良いのだろう。

例えば火星*2と月と地球だと、そのうちの二つが同じ大きさに見える３つの点が一直線上に並んでるっていうことがトリビアルに分かるわけですよねえ。うーむ。頭が固くなっているかも。

3円をいずれも球であるとして、3つの球の中心を含む平面を考えましょう。つぎに、もうひとつの平面を用意して、3つの球にすべて接するように置きます。つまり、ビー玉やテニスボールとピンポン玉がちょうど半分埋まっている地面があって、その上から板をかぶせる感じ。そしたら・・・。あ、時間がない！

この３つの円は３つともに共通する接線がひけるのですか？それで内外を変えた接線が３組あるわけですか。それとも中心が同一直線上にあるのかな？

互いに重ならない3つの円の任意の2つについて、共通接線は2本引けますね。円の大きさがすべて異なっていれば、それぞれの2本の共通接線の組は交点を持っています。こうしてできる3つの交点が1直線上に乗るという話です。まあ、とりあえず大きさの異なる3円を描いて共通接線を引きまくってくだされば分かります。

さて，この定理を画像にしました。ごらんください，一目瞭然。