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NetaTaneMenu? >>>> 準フラクタル図形 >>>> 授業「フラクタル」高１生
5月31日(木)
1ケ月前に，年間指導計画を作り，生徒向けにガイダンスをしました。10名が興味を示してくれました。 フラクタルの高校1年生向け1学期分のテキストを作成して生徒に配布して第１回の授業をしました。フラクタルの紹介をして，フラクタルの定義と種類を簡単に説明したわけですが，
(1)縮小写像
距離を縮めるような写像を考えて，縮小率(0<λ<1)を定義しました。１対１対応から逆写像の存在によって，拡大の概念を説明しました。縮小写像の性質について証明するのは，高校3年生でしようと告げました。
(2)自己相似集合
自己相似集合の定義を示したのですが，数学記号に慣れていないので，イメージ付けを狙い，縮小写像されたXの部分集合を沢山集めて，X自身を被覆(この言葉も高校1年生では理解不能)する例を示しました。苦しいですが，何とか理解はしてくれました。
さすがに，ハウスドルフ空間(大学1回生の後半〜2回生辺りの内容)まで踏み込むことはできませんが，参考程度に示しました．大学数学って抽象的なことをするだぞとか．参考文献：フラクタル数学 石村貞夫・石村園子
(3)フラクタルの種類
アフィン・フラクタルとランダム・フラクタル位しか，1年間では扱えないです。マルチ・フラクタルのような複素数関数を利用するものは，意気込みのある生徒に対しての個人対応で行うことにしました。
(4)人工的なフラクタル図形として，
コッホ曲線構成の見方について，視点を教えました。線分の長さ等を求めるには，等比数列を教えなければならないのですが，EXCELを使って計算させようと思い，まずEXCELのレクチャーをしたわけです。 吃驚しました。EXCELを使いこなせる生徒が少ないこと。中学校や情報の授業では，関数を作ったりして頭を使う処理をしていないので，生徒は「面白い!!」と飲めり込んでしまいました。その時の目は，生き生きしていました。(今日はここまで，次回は等比数列から入ります)※ラボの様子の画像はまた掲載します。
6月7日(木)
今日は，等比数列の一般項と総和を指導して，コッホ曲線の変換の様子と線分の長さや三角形の状態を調べさせました。
(1)２，６，１８，５４，･･･の第10項をexcelで求めさせましたが，１週間ぶりの授業。式を作ってコピー・ペーストという単純なexcelの作業も知らないということが判明しました。びっくりしたのは「一般項を出してみなさい」と発問しましたら，excelで計算できると思った生徒がほとんどで，excelが便利な万能計算機と錯覚しているようでした。
(2)同様に，上の数列の第10項までの総和を計算させようとしましたら，cellに挿入する式を捻出することができない。う〜ん。情報の授業っていったい何を教える予定なのだろう。どうやらデータを入力してグラフウィザードを起動してハイ！お終いらしい。情報の授業以外の教科で情報機器を導入する指導をしなければならないということが，明確になってしまいました!!!
「情報の授業じゃねぇ！！」と怒りながら教えていましたが，あまりに生徒が面白い！と喜ぶのでサービスで教えました。でも，数列の第10項や，初項から第20項までの和の数値計算を求めさせる時に，セルに代数計算を考えさせることをしたのですが， 最初は全く思いもつかなかったようです。教えた途端に，こんなことで感動してくれるのかと呆れてしまいました。もっとビックリしたのは，一般項を求めよとしたのですが，その式もexcelで求めようとした行動。素直で純真というか便利だと思えば，疑いもなく文明の利器に心酔してしまう恐ろしさを感じました。
うまく解釈できないのですが，５という数字を利用しているのでしょうか？
１週間に１回の授業で，tree位が限界かな？と思っています。生徒に作らせるものとして，実生活に繋がる・自然科学に融合するものを中心に扱おうと考えています。ペアノ線までは・・・残念です。
説明抜きですみませんでした。ペアノ曲線です。先週のコマネチ大学がペアの曲線だったもので，metapostで描いてみなくちゃと思っていた矢先にこの記事で，ついつい貼り付けました。ペアの曲線はフラクタルですか？などと訊いてみたりする。
アフィン・フラクタルと思っていますが・・。最初に与えられた形状があり，平行移動，回転移動，相似変換をして増殖していくと見ましたが・・・。えっ！違うのでしょうか・・・。
下図のように 同じコッホ曲線でも
(1)線分という1次元の世界から見ると，線分の長さの総和は∞
(2)三角形の面積という2次元の世界から見ると，三角形の面積の総和は０
では，該当次元log34という世界でみると，その値は，幾つになるのでしょうか？
ペアノ曲線の場合は，曲線だけで平面を埋め尽くす（充填する）ようにみえます。1次元なのに2次元？。 コッホ曲線の場合は曲線が「擬似的に？囲む」図形の面積を問題にするのですか？ では，ペアノ曲線の場合は，どの部分の面積になるのでしょう。うーん。と尋ねてみたりする。
マンデルブローは，その次元の概念を新たに定義して1次元と２次元の間にも次元が存在するとしています。位相次元と言うのでしょうか・・。コッホ曲線の場合で面積からのアプローチは，参考文献を見て初めて知りました。ペアノ曲線にも何かの図形の内部面積に自己相似集合をあてはめることには，無理があるようにも思えるのですが，可能なのかな？
６月14日(木)
今回は，コッホ曲線とシェルピンスキーのギャスケットの性質をEXCELや等比数列の特徴を生かして，表に記入をさせました。
それぞれの図形に対して，縮小率λ→「"入"るって何？」と聞かれた時は，面白かったですね。線分数（個体数）nを確認させて
写像によってできた集合を
写像した回数,小線分の本数,小線分の長さ,小線分の長さの総和
小三角形の個数,小三角形の底辺の長さ,小三角形の２等辺の長さ,小三角形の高さ,小三角形の面積,小三角形の面積の総和
縮小をして第１世代の図形の枠をはみ出さずに，被覆するようにを意識させました。 また写像の回数を∞回した場合に，線分の長さや図形の面積の総和が どのように変容するかをEXCELの数値の変化から予想させました。
ご存じのように， ｒ^nで公比が，0<r<1のとき0, r=1のとき1, 1<rのとき∞
となる予想は，容易く答えて 発見してくれたことは成果でした。(これ以上厳密にはしていません)
次に，同様な相似集合が正六角形でも行えるかどうかを 作図させました。その際にも縮小率と個体数を計算させて 終了しました。次回は，カントール集合と内部自己相似集合と 黄金分割について学習する計画です。
ちなみに，縮小率と個体数の数値は，後々授業の進度によっては 次元が扱えるかもしれません。 その数値を利用できるならばと，あらかじめデータとして取っている 次第です。
