平面図形の問題(1) のバックアップ差分(No.3)

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*平面図形の問題(1)
COLOR(#fe891c){　さて、たまには「教科書」に沿った話題を。}
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COLOR(#fe891c){　私が中学3年生のころ一週間思い悩んだ問題が某社の問題集に「応用」として載っていました。「当然」私が考えた解法とは違うわけで、模範的？な解答でした。}

COLOR(#fe891c){　さて，それにしても「応用」とは...。ちょっとびっくりしました。そんな大層な問題ではないのですけど。それとも他に適当な問題（応用問題と呼べるような）が無かったのでしょうか。なかなか疑問です。教師になり立てのころに当時の生徒にレポートさせたときは，何種類もの（勿論不備なのもありましたが）解法が出てきて面白かったことを覚えています。さて，ここに集った皆さんはどのような解法を見せてくれるでしょう。「乞うご期待」です。}

COLOR(#fe891c){　というわけで、今回は次の問題の解法を出来るだけたくさん挙げましょうという話です。}

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【問題】
　三角形ABCにおいて，辺BCの中点をMとし，角AMB，角AMCの二等分線を引き，それぞれが辺AB，ACと交わる点をP，Qとするとき，PQ//BCを証明しなさい。

　※それぞれの二等分線は直線ABとは2点で交わりますが，辺AB，ACとは一点でしか交わりません。

COLOR(#fe891c){です。図も省略。ちなみに中学生だった私は「補助線」を引いて証明しました。}