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最近仲間内での勉強会で話したネタです。次の樹の枝をどんどん枝分かれさせながら無限に書き続けていくと，すべての正の有理数がちょうど1回ずつ，既約分数の形で現れるのです。
これを横にたどって一番上の行，その次の行，と並べて一行にすると，すべての正の有理数がちょうど1回ずつ既約分数の形で現れる数列ができます。その数列は，ある項の分母が次の項の分子と等しい，という性質を持っています。この数列の分子をf(n)，n=0,1,2,3,…，とおくと，f(n)は簡単な漸化式で表せます。見た目がとっつきやすくて，有理数，数列，漸化式，ユークリッドの互除法と，いろいろなところに結び付けられそうです。
