NetaTaneMenu >>>> 立方体の射影 *立方体の射影 ---- COLOR(red){京都大の○○先生}SIZE(9){ ・・・お名前は隠しておきますね。 }の研究室で, 1回生が課題の立体を持ってきたので,その様子を見ていました。 すると,立体は全て立方体の箱にきっちり 入りますが,直交する3方向から見て正方形に見える仲間だというのです。 しかも,条件があってその立体の頂点は, COLOR(green){?立方体の頂点か辺の中点をとること。} COLOR(green){?形は,凸で極小(これ以上小さくすると凸でないか,正方形に見えない)であること。} です。 学生は,14個作ってきたのですがどうやら違うようです。 私も指導の下,下記の図のように作りましたが,明らかに間違っているのが 3個ほどあります。潰すのがもったいなかったので。 「展開図を頭に描いて糊代付き立体を作成すると,本当に難しく立体感覚が身に付く」と小波先生が言っていたのを,つくづく身に染みています。 #ref(rippou.JPG,center) どなたか,数学的な解答(何個存在するのかは教えてもらいました。全ての展開図も知りたい。時間無く力尽きた・・・)を頂けません? by kawasaki COLOR(#fe891c){面白い}ですね。元が四面体だったらとか,連結性は?・・・って凸だっていうからには連結か。もちろん面は全て平面なんですね。つまり凸多面体。でも時間がありません。しくしく。 ---- COLOR(#fe891c){時間が少し}できました。考える時間というよりは絵を描く時間ですけど。 1つ次元を下げて平面で考えて見ましょう。 :平面での問題: つまり,図形は全て正方形の中にきっちり 入りますが,直交する2方向から見て正方形の幅の線分に見える仲間って?どんなん? しかも,条件があって, +COLOR(green){その%%立体%%平面図形の頂点は,正方形の頂点か辺の中点にとること。} +COLOR(green){形は,凸で極小(これ以上小さくすると凸でないか,正方形に見えない)であること。} さて,この問題を理解するために絵を描いてみました。 #ref(path5230.png,center) 5つ並べていますが,右から2番目の橙色のものは条件に合いません。 左端のものと同じ赤い対角線に「小さく」しても大丈夫だからですね。 では,平面の場合この4種類だけ!でしょうか。 (あるいは残りの4つの中にも不適格なものがあって3種類とか2種類とか?) どのように説明できるでしょうか。 ---- さて,上の「平面での問題」が解決できれば,本来の3次元の立方体の問題では, 立方体の各面に表れる図形は「平面での問題」で得られたいずれかのものということになります。 (って本当にそうかな?) その可能な組合せを検討することで,問題が解決しませんか? 更に4次元,5次元,と高次元についても,この手法を繰返し使えます「か」? ---- というわけで,また少し手が空いたので,本題に戻りましょう。 #ref(g4367.png,center) 左側の方は裏面(見えてないところ)は何通りでしょうか? それとも正四面体に限定されますか?どうでしょう。 そして右側は?こちらも裏面はどうなるのでしょうか。