無理数のなぞ
の編集
https://www2.hamajima.co.jp:443/~mathenet/wiki/index.php?%CC%B5%CD%FD%BF%F4%A4%CE%A4%CA%A4%BE
[
トップ
] [
編集
|
差分
|
バックアップ
|
添付
|
リロード
] [
新規
|
一覧
|
単語検索
|
最終更新
|
ヘルプ
]
-- 雛形とするページ --
2008(Fractal)2学期
2008(Fractal)3学期
?????©?¢Â???ªÓ
??ªÑ???´???£?¢Â???ª±?¢ð?ªÂ??ª???¢ë????
??ªÑ??ªª??ª???©°??ªª?¡ß??¢î???ª???±???´?¢Â?
??©¬?????¡ß
?ª©??À??©??¢ð?ªÓ?¢ð??±?¢ð??´?ª´??¤?¢ð??¢Â?ª´¡ò?¡ò?ª£?¢Â?ª?
?ªÂ?¢í?ª¤?ªÂ?ª±?¢±?¡Þ
?ª´?¢Ä?ªÀ?ªÀ?¢Ä?©°??ª¡?¢ð?ªÂ?ªÀ??£?ª¤??´(2)
BracketName
DivisionByZero
FrontPage/練習
HyperCard
InterWikiName
InterWikiSandBox
KaleidoCycle
L-system
MenuBar
NETANETAAKASHI
POV-Ray
PukiWiki
RecentDeleted
Rubyで整数の計算
seito
ShortestAdditionChain
TaneAkashi
WikiName
WikiWikiWeb
Xaos
ソーラーボート製作
ノーベルメダルチョコ
;
2007高1生冬課題
4サイクルエンジンの模型
91の不思議
きれいな模様だけど(2)
けいはんなDEサイエンス
だまし缶
なんとかの部屋
イスラエル(星形)
エンジンの構造
ガウス生誕150周年
クアラルンプールの高校の壁画
ケーキの問題
ケプラー関連
サイクロイドの滑り台
シャッフルの記録
シンプルな作図問題
スライスモデル
ビリヤードのパズル
フィボナッチ数列の図形パズル
フラーレン
フラクタル3学期(クライマックス)
ヘルプ
マンデルブロ集合とπ4
ルーロー三角形食器?
Σのパズル
伊号-401
一般公開・科学教室
河崎テスト
階乗のなぞ
角の3等分線
角錐で多面体
関西テクノアイデアコンテスト(高校の部)の模様
京都府高等学校数学研究会
鏡で合わせ絵
行事(仮置き)
作図問題!
初期の落書き
新砂箱
進学環境に科学を伝える取組(紹介本一覧)
数学オリンピック解説会
正多面体さいころ
素数
多面体の硬さ
第2回勉強会
談話室バックナンバー01
中学生の問題(1)
等比数列の続き
統計学習用
二次関数バスケット
日経サイエンス
入れ子トリック
年齢当てマジック
平行・回転・対称移動シート
平成15年度 教員養成大学・学部等教官研究集会
平成16年度京都教育大学公開講座募集
平面図形(4)
平面図形(6)in国立科学博物館
平面図形の問題(1)
平面図形の問題(3)
勉強会(例会と銘打って良いのか?)
方べき
有機化学カードゲーム
有理数の樹
羊歯
立体の問題(1)
立体標識
立方体のパズル
立方体の展開図
...
COLOR(#006789){小さい頃,橋の手すりや電柱みたいに一定間隔で繰り返されるパターンにそって歩くときに,あるところで足の位置を合わせてから歩幅を一定にして歩いていって,またどこかで一致するのを楽しんだものです。そのうち,「これって,なかなか一致しないようでも,どこかではまたぴったりになりそうだなあ」と想像していました。} CENTER:電柱の間隔を D, 歩幅を S としたとき CENTER: n D = m S CENTER: なる整数の組 n, m は必ず存在する。 COLOR(#006789){と思い込んでいたわけです。しかしこれは中学で無理数を学んだときに誤りであることが分かってしまいました。もし D/S が無理数であれば,上のような n, m は存在できないからです。} COLOR(#006789){ それでもあきらめはつきません。だって十分に長い距離を歩いていけば,足と電柱が''ほとんど''一致するところがあるのは確かだと思えたからです。そこで次のように考えました。} CENTER:電柱の間隔を D, 歩幅を S としたとき CENTER:適当な整数の組 n, m をとれば CENTER:n D - m S = 0 とできるか,もしそうできないときにも CENTER:|n D - m S| はいくらでも小さくできる。 COLOR(#006789){ここで,|n D - m S|というのは電柱の位置と足の位置のずれです。ゼロにできるというのは D/S が有理数のときで,そうできなくても ''ほとんど''一致したところがあって,しかもずっと遠くまで歩いていくと,さらにずれを小さくできる場所があるはずだというわけです。これは証明可能です。やってはいませんが,証明手順が見えているからたぶん大丈夫(ある任意の実数εがあって・・・とかいうやつね)。} COLOR(#006789){ところが,ここでまた分からなくなってしまいます。まず,上の定理は次のようにも言い換えられます。} CENTER:電柱の間隔を D, 歩幅を S としたとき,D/S が無理数であれば CENTER:%% 増加する整数の列 mSIZE(10){1}, m2, m3, ..., mi,... に対して %% CENTER:%%|ni D - mi S|がゼロに漸近するように m1, m2, ... と n1, n2, ...を定めることができる。%% CENTER:|ni D - mi S|がゼロに漸近するように 増加する数列の組 m1, m2, ... と n1, n2, ...を定めることができる。 COLOR(#fe891c){でしょうか?mSIZE(10){n}に対して定めるってところがどうもわかりません。} COLOR(#006789){SIZE(12){そうですね。訂正していただいたもののほうがいいですね。ちょっと迷ったのは, m1, m2, ... は増加する数列だけど, n1, n2, ...はそうではないところが,区別しにくいこと。}} COLOR(#006789){下付きの添字ができないので,1,2 や i は右下にあると心眼でみてください。さてここで,別の無限数列を考えることにしましょう。} CENTER:a1 = 0.3, a2 = 0.33, a3 = 0.333, ... という数列を考えると CENTER: ai の i → ∞ での極限は 1/3 COLOR(#006789){だから, 0.3333.... = 1/3 だ!と中学の数学の先生に教わりました。手許の本にもそんなことが書いてあります。だけど,そうだとしたら,上でむりやり作った数列 |ni D - mi S|の i → ∞ での極限はゼロなんだから,|n∞ D - m∞ S| = 0 ですね。あれ? D/S は無理数としたはずなんだけど!} ---- COLOR(#fe891c){こういうのって「忘れて」しまいますよね。僕ももうすっかり忘れていました。確かにそうです。そんなこと思いながら歩いていましたねえ。むふふ。ちなみに家のMacのSafariだと文字化けてました。なぜだろうなぜかしら。っていうわけで今からちゃんと読みます。} ---- COLOR(#006789){こういう幼時体験の中には数論やトポロジーなどに結びつくものが沢山あるように思うのですが,さて他にはどんなことがあったかなあ。そうそう,先日の[[第2回勉強会]]で出てきた小学低学年の立体認識は,彼らにとって何が空間の保存量なのかを窺わせて面白かった。} ---- COLOR(#fe891c){さて何が疑問なのでしょうか?ってそこがネタとしては面白いところなんですね?きっと。無理数をcauthy列の極限で定義するなんざあ、それこそrubyなんかの得意とするところじゃありませんかあ。うふふ。} ---- COLOR(#fe891c){考えているといろいろ思い出すものですね。私の場合はステップと柵?欄干で、変拍子とか3拍5連なんか合わしてましたねえ。この場合は一定のスピード(テンポ)で歩くことが肝要ですけど。}
タイムスタンプを変更しない
COLOR(#006789){小さい頃,橋の手すりや電柱みたいに一定間隔で繰り返されるパターンにそって歩くときに,あるところで足の位置を合わせてから歩幅を一定にして歩いていって,またどこかで一致するのを楽しんだものです。そのうち,「これって,なかなか一致しないようでも,どこかではまたぴったりになりそうだなあ」と想像していました。} CENTER:電柱の間隔を D, 歩幅を S としたとき CENTER: n D = m S CENTER: なる整数の組 n, m は必ず存在する。 COLOR(#006789){と思い込んでいたわけです。しかしこれは中学で無理数を学んだときに誤りであることが分かってしまいました。もし D/S が無理数であれば,上のような n, m は存在できないからです。} COLOR(#006789){ それでもあきらめはつきません。だって十分に長い距離を歩いていけば,足と電柱が''ほとんど''一致するところがあるのは確かだと思えたからです。そこで次のように考えました。} CENTER:電柱の間隔を D, 歩幅を S としたとき CENTER:適当な整数の組 n, m をとれば CENTER:n D - m S = 0 とできるか,もしそうできないときにも CENTER:|n D - m S| はいくらでも小さくできる。 COLOR(#006789){ここで,|n D - m S|というのは電柱の位置と足の位置のずれです。ゼロにできるというのは D/S が有理数のときで,そうできなくても ''ほとんど''一致したところがあって,しかもずっと遠くまで歩いていくと,さらにずれを小さくできる場所があるはずだというわけです。これは証明可能です。やってはいませんが,証明手順が見えているからたぶん大丈夫(ある任意の実数εがあって・・・とかいうやつね)。} COLOR(#006789){ところが,ここでまた分からなくなってしまいます。まず,上の定理は次のようにも言い換えられます。} CENTER:電柱の間隔を D, 歩幅を S としたとき,D/S が無理数であれば CENTER:%% 増加する整数の列 mSIZE(10){1}, m2, m3, ..., mi,... に対して %% CENTER:%%|ni D - mi S|がゼロに漸近するように m1, m2, ... と n1, n2, ...を定めることができる。%% CENTER:|ni D - mi S|がゼロに漸近するように 増加する数列の組 m1, m2, ... と n1, n2, ...を定めることができる。 COLOR(#fe891c){でしょうか?mSIZE(10){n}に対して定めるってところがどうもわかりません。} COLOR(#006789){SIZE(12){そうですね。訂正していただいたもののほうがいいですね。ちょっと迷ったのは, m1, m2, ... は増加する数列だけど, n1, n2, ...はそうではないところが,区別しにくいこと。}} COLOR(#006789){下付きの添字ができないので,1,2 や i は右下にあると心眼でみてください。さてここで,別の無限数列を考えることにしましょう。} CENTER:a1 = 0.3, a2 = 0.33, a3 = 0.333, ... という数列を考えると CENTER: ai の i → ∞ での極限は 1/3 COLOR(#006789){だから, 0.3333.... = 1/3 だ!と中学の数学の先生に教わりました。手許の本にもそんなことが書いてあります。だけど,そうだとしたら,上でむりやり作った数列 |ni D - mi S|の i → ∞ での極限はゼロなんだから,|n∞ D - m∞ S| = 0 ですね。あれ? D/S は無理数としたはずなんだけど!} ---- COLOR(#fe891c){こういうのって「忘れて」しまいますよね。僕ももうすっかり忘れていました。確かにそうです。そんなこと思いながら歩いていましたねえ。むふふ。ちなみに家のMacのSafariだと文字化けてました。なぜだろうなぜかしら。っていうわけで今からちゃんと読みます。} ---- COLOR(#006789){こういう幼時体験の中には数論やトポロジーなどに結びつくものが沢山あるように思うのですが,さて他にはどんなことがあったかなあ。そうそう,先日の[[第2回勉強会]]で出てきた小学低学年の立体認識は,彼らにとって何が空間の保存量なのかを窺わせて面白かった。} ---- COLOR(#fe891c){さて何が疑問なのでしょうか?ってそこがネタとしては面白いところなんですね?きっと。無理数をcauthy列の極限で定義するなんざあ、それこそrubyなんかの得意とするところじゃありませんかあ。うふふ。} ---- COLOR(#fe891c){考えているといろいろ思い出すものですね。私の場合はステップと柵?欄干で、変拍子とか3拍5連なんか合わしてましたねえ。この場合は一定のスピード(テンポ)で歩くことが肝要ですけど。}
テキスト整形のルールを表示する