いくらもらえる? − 確率を解釈する
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NetaTaneMenu >>>> [[モンティ・ホールのジレンマ]] >>>> い...
*叔父さんのお年玉
[[モンティ・ホールのジレンマ]]で脇道として出てきた問題で...
-----
COLOR(#006789){ところで,''モンティの問題設定とは直接の関...
目隠しして振ったサイコロの目を 3 と予想して掛け金を払っ...
予想が当たっている確率は 1/6 だ。
その後目隠しをとって見た。そしたら 3 が出ていた。
確率は1だ。
COLOR(#006789){うーん,なんか変ですね。確率を教わった中学...
COLOR(#000066){モンティからさらに逸れるのか少し戻るのか,...
おじさんが親戚の子どもを前に,お年玉袋を二つ並べて言った。
「一方のお年玉袋には他方のお年玉袋の2倍の金額のお金が入っ
ている。好きな方をあなたにあげるので,選びなさい。」
子どもが選んであけてみると,1000円入っていた。おじさんは...
「1度だけ,交換してもいい,というチャンスを与えよう。も...
交換しなくてもいいよ。」
子どもは考えた。
「2つのお年玉袋のどちらを選ぶかは,まったく五分五分だっ...
だから,取り替えたときに金額が2000円になるか,500円にな...
はまったく五分五分だろう。だったら,期待値を考えれば1250...
なるから取り替えた方が得だ。」
横で見ていたこの子のお姉さんに,おじさんはまったく同じゲ...
仕掛けた。姉がお年玉袋を選んで開ける直前に,おじさんは言...
「今度は,袋を開ける前に取りかえるチャンスを与えよう。ど...
姉は考えた。
「弟の考えたことは,1000円という金額には無関係だ。袋の中...
としよう。取り替えたときの金額は,0.5x円か2x円かのどちら...
その可能性は五分五分のはずだ。だから期待値は1.25x円とな...
た方が得だ。」こういって,封筒を取り替えようと手を伸ばし...
が,そこでまた考えた。「上の論法が正しければ,一度取り替...
して,でもまだ封筒を開けていないときに,改めて考えてみれ...
また取り替えた方が得だということになる。そこでまた考えて...
取り替えた方が得になって・・・」
とうとう姉は2つのお年玉袋の間で身動きがとれなくなってし...
いったい上の考えのどこが悪かったのだろうか?
COLOR(#000066){「選びなおし」が絡むところがモンティと少し...
COLOR(#006789){脱線大いに歓迎です。ネタが長続きしますから...
COLOR(#000066){そうですね。たとえばサイコロの場合なら,6...
COLOR(#006789){確率を考える上で最も重要なポイントは,当然...
確率を考える前提と,その上で確率 '''p'''が与えられる状況...
-事象の集合{A,B,C,...}が与えられている。
-試行によって事象 A,B,C,... のうちいずれか1つだけが,必ず...
-このとき事象Aが実現する確率は '''p'''である。
このとき '''p''' は何を意味するのでしょうか。それは
-試行を'''N'''回行ったときに, A は平均して '''N p'''回実...
ということですね。このように,確率を頻度で解釈,表現する...
COLOR(#006789){つまり,確率や期待値を考える時には,何回も...
COLOR(#000066){たとえば,おじさん役がランダムに2つの封筒...
単純に次のように考えたらいいのではないでしょうか?~
2つのお年玉袋にはそれぞれx円,2x円が入っているとします。~
姉がそれぞれのお年玉袋を選ぶ確率は1/2ずつですから~
1.お年玉袋を変えなかった場合の期待値は x×1/2+2x×1/2=(3...
2.お年玉袋を変えた場合~
最終的にx円のお年玉袋を選ぶ確率は,最初に2x円のお年玉袋を...
ですから,この場合の期待値は x×1/2+2x×1/2=(3/2)x~
1.2.から結局お年玉袋を変えても変えなくても期待値は同...
直感的に言うと,おじさんに変えてもいいよと言われても,そ...
もっとも,おじさんが意地悪か,いい人かで変化するかもしれ...
弟のときと結果が異なるのは,弟のときは片一方が500円のとき...
なんか,条件付き確率の問題みたいで,なかなか条件付き確率...
COLOR(#000066){えーっと,「弟のときと結果が異なるのは,…...
COLOR(#006789){弟の行動を''外から''見ると,最初に 2x のを...
COLOR(#fe891c){更なる「突っ込み」を,家のマックでは相変わ...
COLOR(#006789){弟にしろ姉にしろ,次のように考えているわけ...
2度目の金額は 1/2x である確率と 2x である確率がいずれも ...
交換後の期待値をそれにもとづいて計算すると得失が分かる。
+ COLOR(#006789){この考えの妥当性を吟味すべきだということ...
! COLOR(#006789){この考えの妥当性を吟味すべきだということ...
COLOR(#000066){ええ,弟にしても交換は無意味で,枠囲みにし...
COLOR(#006789){数学的には大体そんなところで落ち着けるよう...
COLOR(#fe891c){少しだけ,突っ込みます。おじさんは「既に」...
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COLOR(#006789){しかし,またも混ぜっかえしなんですが,それ...
もっとゲットできる可能性がある。やってみよう!
COLOR(#006789){という,しごくまともな判断に対してどう言っ...
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COLOR(#fe891c){さてさて,議論が白熱してきましたねえ。ネッ...
COLOR(#fe891c){どこかにも書いてありましたが,小学生向けの...
COLOR(#006789){確率分布を念頭においたら?ってことですね,...
あるサンプルを手にした。このサンプルはどのような母集団に...
ある母集団からサンプルをひとつ取った。このサンプルは母集...
COLOR(#fe891c){そうですねえ。例えば、}
弟が選んだ封筒を開けると、1001円入ってた。
COLOR(#fe891c){とすると、100%交換しますよね!っていう噺か...
COLOR(#fe891c){こんなケースがあるとしても、姉の場合は交換...
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COLOR(#006852){この問題は2倍でしたが、設定をもっと極端に...
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COLOR(#000066){手の内を知っているおじさんの立場からではな...
COLOR(#000066){そこで,「あるサンプルを手にした。このサン...
COLOR(#000066){その推測をしたならば,次に,推測した分布の...
COLOR(#000066){この「分布の推測」にあたる部分で,なにも情...
COLOR(#006789){この議論は,人生における決断の問題とか相場...
僕には「弟が袋を交換するのは正しい判断」で、「姉が袋を交...
COLOR(#fe891c){それはそうなんですが,ここでの議論の大勢は...
(あ)の発言者です。昨晩、僕の考えが浅かったと反省してい...
COLOR(#fe891c){いえいえ,浅いなんてとんでもない。普通に考...
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COLOR(#fe891c){なかなか深まっても「しっくり」は来ないので...
ベイズ理論(推測)
COLOR(#fe891c){という,偏見を元にした(表現は過激だけど)...
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COLOR(#21f883){たしかにベイズ推定が知らないうちに混じって...
COLOR(#21f883){まず何が確率変数で何がパラメータ(固定値)...
COLOR(#fe891c){うーん、うーん。おっしゃりたい事はなんとな...
COLOR(#21f883){どうも、こんにちは.最初のパラドクスのまま...
COLOR(#fe891c){やはりそうですよね。少し安心しました。とは...
COLOR(#21f883){えーん,まだなんか疑われているの……?安心で...
COLOR(#fe891c){そうそう。疑ってますよん。うふふ。性分なモ...
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COLOR(#3640cd){おじさん,おじさん,ケチなこと言わないで教...
COLOR(#21f883){誰?}
COLOR(#3640cd){お年玉で困ってしまったボクだよう}
COLOR(#21f883){ああ,君だったのか.ゴメン,わたしは〆切に...
COLOR(#ef0236){誰だね,私を呼ぶのは……}
COLOR(#3640cd){叔父さんのいじわるな問題わからないから教え...
COLOR(#ef0236){なんじゃ,あいつはこんなこともぱっと教えら...
COLOR(#3640cd){わーい}
COLOR(#ef0236){さて,どうやら確率がよくわかっていないみた...
COLOR(#3640cd){それならわかるよ.どの目も確率1/6だよ}
COLOR(#ef0236){その1/6ってのはどうやれば出るの?}
COLOR(#3640cd){だって目は6通りでしょう.どれも同じ程度に...
COLOR(#ef0236){「同じ程度に出やすい」っていうのはどういう...
COLOR(#3640cd){えーと,そうだ,サイコロを100回振って,ど...
COLOR(#ef0236){ま,そんなところかな.学校ではそう教えるだ...
COLOR(#3640cd){そうだよ}
COLOR(#ef0236){その考え方でも良い場合が多いんだけど,今回...
COLOR(#3640cd){えー!?でもボクは一人しかいないよ!}
COLOR(#ef0236){そうなんだ.だからパラレルワールドが100世...
COLOR(#3640cd){いきなりそんなありえない話をされてもなあ}
COLOR(#ef0236){まあもうちょっとお聞き.ためしにバーチャル...
COLOR(#3640cd){わあ,小さな部屋が100個もある!そしてそれ...
COLOR(#ef0236){さていいかい,この100個のパラレルワールド...
COLOR(#3640cd){へええ}
COLOR(#ef0236){その3つは''確率的に''結果が異なるから,出...
COLOR(#3640cd){これ?あ,動いた動いた.}
COLOR(#ef0236){結果は?}
COLOR(#3640cd){えーと,1の目が出てるVPWと2の目が出てるVPW...
COLOR(#ef0236){そうだね.だからサイコロの目がそれぞれ出る...
COLOR(#3640cd){えっと……だいたい3.5になりますね,これも}
COLOR(#ef0236){そう,これが期待値の意味だね.パラレルワー...
COLOR(#21f883){それはアンサンブル平均で,期待値とは違うぞ...
COLOR(#ef0236){む?何か外野から声が?今はいいんだ,大数の...
COLOR(#3640cd){おじさん,なんか言った?}
COLOR(#ef0236){ああ,実は期待値を計算するには2つの方法が...
COLOR(#3640cd){要は2つ計算方法があって,nが十分大きけれ...
COLOR(#ef0236){実はこのほかに時間平均というのもあってね....
COLOR(#3640cd){でもここまでなら,ボクが一人で100回やった...
COLOR(#ef3640){そうだね.この場合は別にパラレルワールドじ...
COLOR(#3540cd){えー,お母さんが怒るよ!}
COLOR(#ef3640){だからVPWMの中でやるのさ.}
COLOR(#3640cd){スタート……100個のVPWのうち,割れたのは23個...
COLOR(#ef3640){1/4弱ってとこだね.この実験は,一人で何回...
COLOR(#3640cd){できません.でも花瓶を100個買ってくれたら...
COLOR(#ef3640){じゃあ人間国宝が作った世界に1個しかない壺...
COLOR(#3640cd){それは絶対に実験できない!}
COLOR(#ef3640){もう一つ別の例だ.これはおじさんが作った特...
COLOR(#3540cd){もちろん違いますよ!}
COLOR(#ef3640){時間平均とアンサンブル平均も一致しないよね...
COLOR(#3540cd){そのつどリセットボタンを押します}
COLOR(#ef3640){そうだね.花瓶なら,まったく同じものを買っ...
COLOR(#3640cd){はーい}
COLOR(#21f883){ここでエルゴード性の説明を入れたいよう.そ...
COLOR(#ef3640){次は条件付き確率かな.またVPWマシーンで,...
COLOR(#3640cd){約50個です}
COLOR(#ef3640){じゃあその50個の中で,2の目はどれくらい出...
COLOR(#3640cd){ええと,16個でしたから,約1/3です}
COLOR(#ef3640){そうだね.それを''偶数の目が出たという条件...
COLOR(#3640cd){カッコの中と外に2つもイコールがあっておも...
COLOR(#ef3640){あと,Px(1)=1/6 と書いてもいい.それから条...
COLOR(#3540cd){えーと,どこから考えるのかな……}
COLOR(#ef3640){まず反対の目を確率変数として名前をつける....
COLOR(#3640cd){つまり Pr(Y=4|X=3)を求めるわけですね.100...
COLOR(#ef3640){そうだね.つまり Pr(Y=4|X=3)=1 ってわけだ...
目隠しして振ったサイコロの目を 3 と予想して掛け金を払っ...
予想が当たっている確率は 1/6 だ。
その後目隠しをとって見た。そしたら 3 が出ていた。
確率は1だ。
COLOR(#3640cd){これもVPWで考えるんですね.100個のVPWでサ...
COLOR(#ef3640){教えたとおりの手順でするんだよ}
COLOR(#3640cd){まずVPWのうちから,X=3を満たすVPWだけを残...
COLOR(#ef3640){そうだね.ちょうど「サイコロの反対の目が4...
COLOR(#3640cd){Pr(X=3|X=3)=1.X=3という条件付きでX=3が生...
COLOR(#21f883){この問題の場合,目隠しを取ってみたときの''...
COLOR(#ef3640){なんか外野がうるさいなあ,今はそこまでしな...
COLOR(#3540cd){でも……きっとこの問題出した人,3の目が出る...
COLOR(#ef3640){ああ,そうなんだろうね.でも,目隠しをして...
COLOR(#3640cd){うん.こうやってみると全然違うね.でも確率...
COLOR(#ef3640){そうなんだ,確率とはもちろん関係している....
COLOR(#21f883){なるほどやっかいなことは先送りにしようって...
COLOR(#ef3640){まったくうるさい外野だ…….さていよいよお年...
COLOR(#3640cd){いいえ}
COLOR(#ef3640){じゃあ,ここまでは100個のVPWでも全部同じこ...
COLOR(#3540cd){いいよ}
COLOR(#ef3640){さあ,ここで君はコインを投げた.これは?}
COLOR(#3640cd){確率的です}
COLOR(#ef3640){じゃあ確率変数を割り振ってみて}
COLOR(#3640cd){ええと,じゃあXにします}
COLOR(#ef3640){オモテならX=1,ウラならX=2ということにしよ...
COLOR(#3640cd){ええと1/2と1/2ですよ……おっと,ちゃんとやら...
COLOR(#ef3640){そうだね.じゃあ,今度はXと同じ番号の封筒...
COLOR(#3640cd){本当はこれもいちいちVPWの数を数えるんです...
COLOR(#ef3640){じゃあ今度は,選んだ封筒を開けたとしよう……...
COLOR(#3640cd){条件付き確率ですね?じゃあY=1000を満たすVP...
COLOR(#ef3640){そうそう,VPWの,つまり確率の操作方法に慣...
COLOR(#3640cd){えっと,全部 Z=2000 です.だから Pr(Z=2000...
COLOR(#ef3640){オッケー,じゃあいよいよ本題だ.おじさんは...
COLOR(#3640cd){いいえ.だからVPW全部同じってことですよね}
COLOR(#ef3640){ここでさっきと同じようにコインを投げて,ど...
COLOR(#3640cd){はい……VPWのうち,半数はα円の封筒を選び,残...
COLOR(#ef3640){Pr(Y=α)=1/2, Pr(Y=2α)=1/2というわけだね....
COLOR(#3540cd){えっと,何も考えずに教えられたとおりにしま...
COLOR(#ef3640){そうだね,どっちも1.5α円の期待値だね.君の...
COLOR(#3540cd){じゃあさっきと同じようにパラレルワールドで...
COLOR(#ef3640){さて君が選んだ封筒には1000円入っていたとし...
COLOR(#3640cd){はい.じゃあやってみます.まずVPWのうち,Y...
COLOR(#ef3640){そう,ちゃんと計算できたね}
COLOR(#3640cd){教えられた手順を絶対に守って計算しただけで...
COLOR(#ef3640){そうさ,βは未知数で,しかもβを割り出すため...
COLOR(#3540cd){でも,βが500か2000のどちらかってことは知っ...
COLOR(#ef3640){その情報も使うなら ''「もう片方の封筒の金...
COLOR(#3640cd){βは500か2000かのどちらか1/2ずつの確率って...
COLOR(#ef3640){その答は自分で考えてごらん.VPWの中に答は...
COLOR(#3640cd){そうだ,VPWの世界の封筒を全部開けてみよう…...
COLOR(#ef3640){最初におじさんが封筒にお金を入れたとき,そ...
COLOR(#3640cd){そうか,確率変数じゃないのに,確率的に変わ...
COLOR(#ef3640){そう,そうなんだ.本当にこれは確率かな?と...
COLOR(#3640cd){そうかあ……じゃあボクがやろうとしていたこと...
COLOR(#ef3640){それはもちろんかまわない.だけど,確率を求...
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COLOR(#000066){こんばんは。とてもわかりやすい説明をありが...
COLOR(#000066){時間的前後関係にまどわされて奇妙にみえるか...
COLOR(#000066){パラレルワールドを使うならば,後者は「100...
COLOR(#000066){この問題の面白さは,(縮めて)「おじさんが...
COLOR(#000066){その問いに正面から答えるには,二つの枠組み...
COLOR(#000066){どうも「確率の基本にもどれば簡単な話」とお...
COLOR(#000066){ずっと上でのあちこちさ迷いながら私としては...
COLOR(#21f883){あまりこれ以上この問題には関われないと思い...
COLOR(#21f883){おそらく質問の意味はこういうことですよね....
COLOR(#21f883){おおざっぱに言って,次のようにして見分ける...
COLOR(#21f883){少年の誤りを指摘するだけではだめで,「では...
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COLOR(blue){ねえ,ちょっと}
COLOR(#21f883){は!?}
COLOR(blue){まだ説明しなきゃなんないこと,いっばい残って...
COLOR(#21f883){いや,それは,モゴモゴ…….ところで君は?}
COLOR(blue){いやねえ,さっきまで弟がここで叔父さんと話し...
COLOR(#21f883){いやわたしは,その……あ,原稿の〆切があった...
COLOR(blue){あ,行っちゃった…….しかたがないから叔父さん...
COLOR(#f03640){(ぬっ)呼んだかい?}
COLOR(blue){あ,どこ行ってたの,聞きたいことがあったのに}
COLOR(#f04040){彼も,本当は説明したいのはやまやまなんだろ...
COLOR(blue){そうそう}
COLOR(#f04040){じゃあ,ここで宣言しよう.今から当分の間,...
COLOR(blue){1から10までの数が書いているわね.そしてどれも...
COLOR(#f04040){そうだ.そしてルーレットの出た数がXだとす...
COLOR(blue){P1(1)=P1(2)=....=P(10)=1/10 ね.同様に P2(2)=...
COLOR(#f04040){念のため,パラレルワールドマシンを動かして...
COLOR(blue){スタートスイッチを押して……1000個のPWでおじさ...
COLOR(#f04040){ここでパラレルワールドの中の1000人の君は,...
COLOR(blue){えーと,約500人の私は封筒1を選んだわ.そして...
COLOR(#f04040){それじゃあ,選んだ封筒の中身のお札をZ1枚,...
COLOR(blue){あら,えーと……,1枚が50世界.2枚が100世界.3...
COLOR(#f04040){じゃあ期待値は?}
COLOR(blue){ばっとは計算できないわよ!ちょっと待ってて(...
COLOR(#f04040){そういうことだね.もっとも君の場合は,私の...
COLOR(blue){はーい.本当はこれ,弟のケースに相当するんで...
COLOR(#f04040){じゃあここで,開いたら2000円入っていたこと...
COLOR(blue){Z1=2のケースだけピックアップするんですね.は...
COLOR(#f04040){そのときの,もう片方の封筒Z2はどうなってい...
COLOR(blue){はい,Z2=1 の世界が50個,Z2=4 の世界が50個で...
COLOR(#f04040){そうだね.Z1=2 という条件付きだから,もは...
COLOR(blue){ここで期待値を計算する……そしたら,はーい,弟...
COLOR(#f04040){そうだね.どうやらこの場合は,封筒を交換し...
COLOR(blue){Z1=2,4,6,8,10 の5つのケースは同じ結果ですね...
COLOR(#f04040){そうだね.そして何枚までだったら交換した方...
COLOR(blue){じゃあこういうケースはどうなるんですか?おじ...
COLOR(#f04040){つまり,確率変数 X が 1 から N までの等確...
COLOR(blue){おじさん,わたし先が読めたわ!開いた封筒の中...
COLOR(#f04040){そりゃあ話が先に進みすぎ!もちろんそういう...
COLOR(blue){はい,やってみたわ.あ,おじさん,Nを3にして...
COLOR(#f04040){この状況で,開けた封筒のお金が4000円だった...
COLOR(blue){Z2は必ず2ね.Pr(Z2=2|Z1=4)=1. でもPWの中の私...
COLOR(blue){おじさん,Nの値をいろいろ変えてパラレルワール...
COLOR(#f04040){とりあえずこういうことは言えそうだね.おじ...
COLOR(blue){でも,なんとか計算できないものかしら.そうね...
COLOR(#f04040){そろそろ推定問題に話題を移すときがきたよう...
COLOR(blue){あーん,おじさん帰っちゃうの?}
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COLOR(#fe891c){ああ,面白い。おじさんは,最初はお年玉に千...
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COLOR(#000066){ここで説明していただいた「おじさんが封筒に...
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COLOR(#e04040){やあ,ちょっと用事で近くまで来たので,寄っ...
COLOR(blue){あ,おじさん,こんにちは.ね,今日は推定の話...
COLOR(#e04040){残念だけど,そんなには時間がないんだ}
COLOR(blue){あら,がっかり〜}
COLOR(#e04040){それでね,今までさんざん「知らないうちに推...
COLOR(blue){そうね.理由も書かずに「危険、立ち入り禁止」...
COLOR(#e04040){そうなんだ.ただ、何が危ないかなんてのは本...
COLOR(blue){4つもあるの?}
COLOR(#e04040){そうさ.1つめは,「推定値は正しい値と限ら...
COLOR(blue){え,それって当然じゃないの?だって推定値なん...
COLOR(#e04040){そりゃ「今、私は推定作業をしているよ」と自...
COLOR(blue){そうね.計算で出た値が「期待値」なのか「期待...
COLOR(#e04040){第2は,推定方法はいくつもあるってこと.そ...
COLOR(blue){え,推定法っていろいろあるんだ!じゃあいろん...
COLOR(#e04040){それはね,どの推定法が他の推定法よりも正し...
COLOR(blue){ふうん,そうなんだ}
COLOR(#e04040){観測データが増えれば増えるほど,どの推定法...
COLOR(blue){つまり情報が足りないときに,それを補うやり方...
COLOR(#e04040){そして3番目,これは2番目の言い換えになる...
COLOR(blue){偏りがあるって?}
COLOR(#e04040){この場合は分散値を小さめに推定する傾向があ...
COLOR(blue){そんな推定値でもいいの?}
COLOR(#e04040){いいかどうかは使い方次第.ちなみに分散の最...
COLOR(blue){あれ,いつも不思議だったのよー.どう使い分け...
COLOR(#e04040){そうか,知らなかったか.じゃあそれはまたい...
COLOR(blue){「使用上の注意はよく読んでお使い下さい」って...
COLOR(#e04040){そして4番目,推定作業にはいろいろ仮定や前...
COLOR(blue){ふうん,何かの仮定は必ず入っちゃうんだ}
COLOR(#e04040){そうだね.自分の出した結論に,いつの間にか...
COLOR(blue){あー!おじさんはそれを知っててわざと私たちを...
COLOR(#e04040){ははは、そういうことかも.だから,何か怪し...
COLOR(blue){だめよ,そうやって自分を正当化しちゃ!おじさ...
----
COLOR(#006789){推定は統計学における中心的課題ですね。通常...
COLOR(#006789){標本抽出を軸とする本格的な統計学は大学でし...
COLOR(#fe891c){えっと何を書くつもりだったっけ。そうそう。...
終了行:
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*叔父さんのお年玉
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COLOR(#006789){ところで,''モンティの問題設定とは直接の関...
目隠しして振ったサイコロの目を 3 と予想して掛け金を払っ...
予想が当たっている確率は 1/6 だ。
その後目隠しをとって見た。そしたら 3 が出ていた。
確率は1だ。
COLOR(#006789){うーん,なんか変ですね。確率を教わった中学...
COLOR(#000066){モンティからさらに逸れるのか少し戻るのか,...
おじさんが親戚の子どもを前に,お年玉袋を二つ並べて言った。
「一方のお年玉袋には他方のお年玉袋の2倍の金額のお金が入っ
ている。好きな方をあなたにあげるので,選びなさい。」
子どもが選んであけてみると,1000円入っていた。おじさんは...
「1度だけ,交換してもいい,というチャンスを与えよう。も...
交換しなくてもいいよ。」
子どもは考えた。
「2つのお年玉袋のどちらを選ぶかは,まったく五分五分だっ...
だから,取り替えたときに金額が2000円になるか,500円にな...
はまったく五分五分だろう。だったら,期待値を考えれば1250...
なるから取り替えた方が得だ。」
横で見ていたこの子のお姉さんに,おじさんはまったく同じゲ...
仕掛けた。姉がお年玉袋を選んで開ける直前に,おじさんは言...
「今度は,袋を開ける前に取りかえるチャンスを与えよう。ど...
姉は考えた。
「弟の考えたことは,1000円という金額には無関係だ。袋の中...
としよう。取り替えたときの金額は,0.5x円か2x円かのどちら...
その可能性は五分五分のはずだ。だから期待値は1.25x円とな...
た方が得だ。」こういって,封筒を取り替えようと手を伸ばし...
が,そこでまた考えた。「上の論法が正しければ,一度取り替...
して,でもまだ封筒を開けていないときに,改めて考えてみれ...
また取り替えた方が得だということになる。そこでまた考えて...
取り替えた方が得になって・・・」
とうとう姉は2つのお年玉袋の間で身動きがとれなくなってし...
いったい上の考えのどこが悪かったのだろうか?
COLOR(#000066){「選びなおし」が絡むところがモンティと少し...
COLOR(#006789){脱線大いに歓迎です。ネタが長続きしますから...
COLOR(#000066){そうですね。たとえばサイコロの場合なら,6...
COLOR(#006789){確率を考える上で最も重要なポイントは,当然...
確率を考える前提と,その上で確率 '''p'''が与えられる状況...
-事象の集合{A,B,C,...}が与えられている。
-試行によって事象 A,B,C,... のうちいずれか1つだけが,必ず...
-このとき事象Aが実現する確率は '''p'''である。
このとき '''p''' は何を意味するのでしょうか。それは
-試行を'''N'''回行ったときに, A は平均して '''N p'''回実...
ということですね。このように,確率を頻度で解釈,表現する...
COLOR(#006789){つまり,確率や期待値を考える時には,何回も...
COLOR(#000066){たとえば,おじさん役がランダムに2つの封筒...
単純に次のように考えたらいいのではないでしょうか?~
2つのお年玉袋にはそれぞれx円,2x円が入っているとします。~
姉がそれぞれのお年玉袋を選ぶ確率は1/2ずつですから~
1.お年玉袋を変えなかった場合の期待値は x×1/2+2x×1/2=(3...
2.お年玉袋を変えた場合~
最終的にx円のお年玉袋を選ぶ確率は,最初に2x円のお年玉袋を...
ですから,この場合の期待値は x×1/2+2x×1/2=(3/2)x~
1.2.から結局お年玉袋を変えても変えなくても期待値は同...
直感的に言うと,おじさんに変えてもいいよと言われても,そ...
もっとも,おじさんが意地悪か,いい人かで変化するかもしれ...
弟のときと結果が異なるのは,弟のときは片一方が500円のとき...
なんか,条件付き確率の問題みたいで,なかなか条件付き確率...
COLOR(#000066){えーっと,「弟のときと結果が異なるのは,…...
COLOR(#006789){弟の行動を''外から''見ると,最初に 2x のを...
COLOR(#fe891c){更なる「突っ込み」を,家のマックでは相変わ...
COLOR(#006789){弟にしろ姉にしろ,次のように考えているわけ...
2度目の金額は 1/2x である確率と 2x である確率がいずれも ...
交換後の期待値をそれにもとづいて計算すると得失が分かる。
+ COLOR(#006789){この考えの妥当性を吟味すべきだということ...
! COLOR(#006789){この考えの妥当性を吟味すべきだということ...
COLOR(#000066){ええ,弟にしても交換は無意味で,枠囲みにし...
COLOR(#006789){数学的には大体そんなところで落ち着けるよう...
COLOR(#fe891c){少しだけ,突っ込みます。おじさんは「既に」...
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COLOR(#006789){しかし,またも混ぜっかえしなんですが,それ...
もっとゲットできる可能性がある。やってみよう!
COLOR(#006789){という,しごくまともな判断に対してどう言っ...
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COLOR(#fe891c){さてさて,議論が白熱してきましたねえ。ネッ...
COLOR(#fe891c){どこかにも書いてありましたが,小学生向けの...
COLOR(#006789){確率分布を念頭においたら?ってことですね,...
あるサンプルを手にした。このサンプルはどのような母集団に...
ある母集団からサンプルをひとつ取った。このサンプルは母集...
COLOR(#fe891c){そうですねえ。例えば、}
弟が選んだ封筒を開けると、1001円入ってた。
COLOR(#fe891c){とすると、100%交換しますよね!っていう噺か...
COLOR(#fe891c){こんなケースがあるとしても、姉の場合は交換...
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COLOR(#006852){この問題は2倍でしたが、設定をもっと極端に...
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COLOR(#000066){手の内を知っているおじさんの立場からではな...
COLOR(#000066){そこで,「あるサンプルを手にした。このサン...
COLOR(#000066){その推測をしたならば,次に,推測した分布の...
COLOR(#000066){この「分布の推測」にあたる部分で,なにも情...
COLOR(#006789){この議論は,人生における決断の問題とか相場...
僕には「弟が袋を交換するのは正しい判断」で、「姉が袋を交...
COLOR(#fe891c){それはそうなんですが,ここでの議論の大勢は...
(あ)の発言者です。昨晩、僕の考えが浅かったと反省してい...
COLOR(#fe891c){いえいえ,浅いなんてとんでもない。普通に考...
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COLOR(#fe891c){なかなか深まっても「しっくり」は来ないので...
ベイズ理論(推測)
COLOR(#fe891c){という,偏見を元にした(表現は過激だけど)...
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COLOR(#21f883){たしかにベイズ推定が知らないうちに混じって...
COLOR(#21f883){まず何が確率変数で何がパラメータ(固定値)...
COLOR(#fe891c){うーん、うーん。おっしゃりたい事はなんとな...
COLOR(#21f883){どうも、こんにちは.最初のパラドクスのまま...
COLOR(#fe891c){やはりそうですよね。少し安心しました。とは...
COLOR(#21f883){えーん,まだなんか疑われているの……?安心で...
COLOR(#fe891c){そうそう。疑ってますよん。うふふ。性分なモ...
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COLOR(#3640cd){おじさん,おじさん,ケチなこと言わないで教...
COLOR(#21f883){誰?}
COLOR(#3640cd){お年玉で困ってしまったボクだよう}
COLOR(#21f883){ああ,君だったのか.ゴメン,わたしは〆切に...
COLOR(#ef0236){誰だね,私を呼ぶのは……}
COLOR(#3640cd){叔父さんのいじわるな問題わからないから教え...
COLOR(#ef0236){なんじゃ,あいつはこんなこともぱっと教えら...
COLOR(#3640cd){わーい}
COLOR(#ef0236){さて,どうやら確率がよくわかっていないみた...
COLOR(#3640cd){それならわかるよ.どの目も確率1/6だよ}
COLOR(#ef0236){その1/6ってのはどうやれば出るの?}
COLOR(#3640cd){だって目は6通りでしょう.どれも同じ程度に...
COLOR(#ef0236){「同じ程度に出やすい」っていうのはどういう...
COLOR(#3640cd){えーと,そうだ,サイコロを100回振って,ど...
COLOR(#ef0236){ま,そんなところかな.学校ではそう教えるだ...
COLOR(#3640cd){そうだよ}
COLOR(#ef0236){その考え方でも良い場合が多いんだけど,今回...
COLOR(#3640cd){えー!?でもボクは一人しかいないよ!}
COLOR(#ef0236){そうなんだ.だからパラレルワールドが100世...
COLOR(#3640cd){いきなりそんなありえない話をされてもなあ}
COLOR(#ef0236){まあもうちょっとお聞き.ためしにバーチャル...
COLOR(#3640cd){わあ,小さな部屋が100個もある!そしてそれ...
COLOR(#ef0236){さていいかい,この100個のパラレルワールド...
COLOR(#3640cd){へええ}
COLOR(#ef0236){その3つは''確率的に''結果が異なるから,出...
COLOR(#3640cd){これ?あ,動いた動いた.}
COLOR(#ef0236){結果は?}
COLOR(#3640cd){えーと,1の目が出てるVPWと2の目が出てるVPW...
COLOR(#ef0236){そうだね.だからサイコロの目がそれぞれ出る...
COLOR(#3640cd){えっと……だいたい3.5になりますね,これも}
COLOR(#ef0236){そう,これが期待値の意味だね.パラレルワー...
COLOR(#21f883){それはアンサンブル平均で,期待値とは違うぞ...
COLOR(#ef0236){む?何か外野から声が?今はいいんだ,大数の...
COLOR(#3640cd){おじさん,なんか言った?}
COLOR(#ef0236){ああ,実は期待値を計算するには2つの方法が...
COLOR(#3640cd){要は2つ計算方法があって,nが十分大きけれ...
COLOR(#ef0236){実はこのほかに時間平均というのもあってね....
COLOR(#3640cd){でもここまでなら,ボクが一人で100回やった...
COLOR(#ef3640){そうだね.この場合は別にパラレルワールドじ...
COLOR(#3540cd){えー,お母さんが怒るよ!}
COLOR(#ef3640){だからVPWMの中でやるのさ.}
COLOR(#3640cd){スタート……100個のVPWのうち,割れたのは23個...
COLOR(#ef3640){1/4弱ってとこだね.この実験は,一人で何回...
COLOR(#3640cd){できません.でも花瓶を100個買ってくれたら...
COLOR(#ef3640){じゃあ人間国宝が作った世界に1個しかない壺...
COLOR(#3640cd){それは絶対に実験できない!}
COLOR(#ef3640){もう一つ別の例だ.これはおじさんが作った特...
COLOR(#3540cd){もちろん違いますよ!}
COLOR(#ef3640){時間平均とアンサンブル平均も一致しないよね...
COLOR(#3540cd){そのつどリセットボタンを押します}
COLOR(#ef3640){そうだね.花瓶なら,まったく同じものを買っ...
COLOR(#3640cd){はーい}
COLOR(#21f883){ここでエルゴード性の説明を入れたいよう.そ...
COLOR(#ef3640){次は条件付き確率かな.またVPWマシーンで,...
COLOR(#3640cd){約50個です}
COLOR(#ef3640){じゃあその50個の中で,2の目はどれくらい出...
COLOR(#3640cd){ええと,16個でしたから,約1/3です}
COLOR(#ef3640){そうだね.それを''偶数の目が出たという条件...
COLOR(#3640cd){カッコの中と外に2つもイコールがあっておも...
COLOR(#ef3640){あと,Px(1)=1/6 と書いてもいい.それから条...
COLOR(#3540cd){えーと,どこから考えるのかな……}
COLOR(#ef3640){まず反対の目を確率変数として名前をつける....
COLOR(#3640cd){つまり Pr(Y=4|X=3)を求めるわけですね.100...
COLOR(#ef3640){そうだね.つまり Pr(Y=4|X=3)=1 ってわけだ...
目隠しして振ったサイコロの目を 3 と予想して掛け金を払っ...
予想が当たっている確率は 1/6 だ。
その後目隠しをとって見た。そしたら 3 が出ていた。
確率は1だ。
COLOR(#3640cd){これもVPWで考えるんですね.100個のVPWでサ...
COLOR(#ef3640){教えたとおりの手順でするんだよ}
COLOR(#3640cd){まずVPWのうちから,X=3を満たすVPWだけを残...
COLOR(#ef3640){そうだね.ちょうど「サイコロの反対の目が4...
COLOR(#3640cd){Pr(X=3|X=3)=1.X=3という条件付きでX=3が生...
COLOR(#21f883){この問題の場合,目隠しを取ってみたときの''...
COLOR(#ef3640){なんか外野がうるさいなあ,今はそこまでしな...
COLOR(#3540cd){でも……きっとこの問題出した人,3の目が出る...
COLOR(#ef3640){ああ,そうなんだろうね.でも,目隠しをして...
COLOR(#3640cd){うん.こうやってみると全然違うね.でも確率...
COLOR(#ef3640){そうなんだ,確率とはもちろん関係している....
COLOR(#21f883){なるほどやっかいなことは先送りにしようって...
COLOR(#ef3640){まったくうるさい外野だ…….さていよいよお年...
COLOR(#3640cd){いいえ}
COLOR(#ef3640){じゃあ,ここまでは100個のVPWでも全部同じこ...
COLOR(#3540cd){いいよ}
COLOR(#ef3640){さあ,ここで君はコインを投げた.これは?}
COLOR(#3640cd){確率的です}
COLOR(#ef3640){じゃあ確率変数を割り振ってみて}
COLOR(#3640cd){ええと,じゃあXにします}
COLOR(#ef3640){オモテならX=1,ウラならX=2ということにしよ...
COLOR(#3640cd){ええと1/2と1/2ですよ……おっと,ちゃんとやら...
COLOR(#ef3640){そうだね.じゃあ,今度はXと同じ番号の封筒...
COLOR(#3640cd){本当はこれもいちいちVPWの数を数えるんです...
COLOR(#ef3640){じゃあ今度は,選んだ封筒を開けたとしよう……...
COLOR(#3640cd){条件付き確率ですね?じゃあY=1000を満たすVP...
COLOR(#ef3640){そうそう,VPWの,つまり確率の操作方法に慣...
COLOR(#3640cd){えっと,全部 Z=2000 です.だから Pr(Z=2000...
COLOR(#ef3640){オッケー,じゃあいよいよ本題だ.おじさんは...
COLOR(#3640cd){いいえ.だからVPW全部同じってことですよね}
COLOR(#ef3640){ここでさっきと同じようにコインを投げて,ど...
COLOR(#3640cd){はい……VPWのうち,半数はα円の封筒を選び,残...
COLOR(#ef3640){Pr(Y=α)=1/2, Pr(Y=2α)=1/2というわけだね....
COLOR(#3540cd){えっと,何も考えずに教えられたとおりにしま...
COLOR(#ef3640){そうだね,どっちも1.5α円の期待値だね.君の...
COLOR(#3540cd){じゃあさっきと同じようにパラレルワールドで...
COLOR(#ef3640){さて君が選んだ封筒には1000円入っていたとし...
COLOR(#3640cd){はい.じゃあやってみます.まずVPWのうち,Y...
COLOR(#ef3640){そう,ちゃんと計算できたね}
COLOR(#3640cd){教えられた手順を絶対に守って計算しただけで...
COLOR(#ef3640){そうさ,βは未知数で,しかもβを割り出すため...
COLOR(#3540cd){でも,βが500か2000のどちらかってことは知っ...
COLOR(#ef3640){その情報も使うなら ''「もう片方の封筒の金...
COLOR(#3640cd){βは500か2000かのどちらか1/2ずつの確率って...
COLOR(#ef3640){その答は自分で考えてごらん.VPWの中に答は...
COLOR(#3640cd){そうだ,VPWの世界の封筒を全部開けてみよう…...
COLOR(#ef3640){最初におじさんが封筒にお金を入れたとき,そ...
COLOR(#3640cd){そうか,確率変数じゃないのに,確率的に変わ...
COLOR(#ef3640){そう,そうなんだ.本当にこれは確率かな?と...
COLOR(#3640cd){そうかあ……じゃあボクがやろうとしていたこと...
COLOR(#ef3640){それはもちろんかまわない.だけど,確率を求...
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COLOR(#000066){こんばんは。とてもわかりやすい説明をありが...
COLOR(#000066){時間的前後関係にまどわされて奇妙にみえるか...
COLOR(#000066){パラレルワールドを使うならば,後者は「100...
COLOR(#000066){この問題の面白さは,(縮めて)「おじさんが...
COLOR(#000066){その問いに正面から答えるには,二つの枠組み...
COLOR(#000066){どうも「確率の基本にもどれば簡単な話」とお...
COLOR(#000066){ずっと上でのあちこちさ迷いながら私としては...
COLOR(#21f883){あまりこれ以上この問題には関われないと思い...
COLOR(#21f883){おそらく質問の意味はこういうことですよね....
COLOR(#21f883){おおざっぱに言って,次のようにして見分ける...
COLOR(#21f883){少年の誤りを指摘するだけではだめで,「では...
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COLOR(blue){ねえ,ちょっと}
COLOR(#21f883){は!?}
COLOR(blue){まだ説明しなきゃなんないこと,いっばい残って...
COLOR(#21f883){いや,それは,モゴモゴ…….ところで君は?}
COLOR(blue){いやねえ,さっきまで弟がここで叔父さんと話し...
COLOR(#21f883){いやわたしは,その……あ,原稿の〆切があった...
COLOR(blue){あ,行っちゃった…….しかたがないから叔父さん...
COLOR(#f03640){(ぬっ)呼んだかい?}
COLOR(blue){あ,どこ行ってたの,聞きたいことがあったのに}
COLOR(#f04040){彼も,本当は説明したいのはやまやまなんだろ...
COLOR(blue){そうそう}
COLOR(#f04040){じゃあ,ここで宣言しよう.今から当分の間,...
COLOR(blue){1から10までの数が書いているわね.そしてどれも...
COLOR(#f04040){そうだ.そしてルーレットの出た数がXだとす...
COLOR(blue){P1(1)=P1(2)=....=P(10)=1/10 ね.同様に P2(2)=...
COLOR(#f04040){念のため,パラレルワールドマシンを動かして...
COLOR(blue){スタートスイッチを押して……1000個のPWでおじさ...
COLOR(#f04040){ここでパラレルワールドの中の1000人の君は,...
COLOR(blue){えーと,約500人の私は封筒1を選んだわ.そして...
COLOR(#f04040){それじゃあ,選んだ封筒の中身のお札をZ1枚,...
COLOR(blue){あら,えーと……,1枚が50世界.2枚が100世界.3...
COLOR(#f04040){じゃあ期待値は?}
COLOR(blue){ばっとは計算できないわよ!ちょっと待ってて(...
COLOR(#f04040){そういうことだね.もっとも君の場合は,私の...
COLOR(blue){はーい.本当はこれ,弟のケースに相当するんで...
COLOR(#f04040){じゃあここで,開いたら2000円入っていたこと...
COLOR(blue){Z1=2のケースだけピックアップするんですね.は...
COLOR(#f04040){そのときの,もう片方の封筒Z2はどうなってい...
COLOR(blue){はい,Z2=1 の世界が50個,Z2=4 の世界が50個で...
COLOR(#f04040){そうだね.Z1=2 という条件付きだから,もは...
COLOR(blue){ここで期待値を計算する……そしたら,はーい,弟...
COLOR(#f04040){そうだね.どうやらこの場合は,封筒を交換し...
COLOR(blue){Z1=2,4,6,8,10 の5つのケースは同じ結果ですね...
COLOR(#f04040){そうだね.そして何枚までだったら交換した方...
COLOR(blue){じゃあこういうケースはどうなるんですか?おじ...
COLOR(#f04040){つまり,確率変数 X が 1 から N までの等確...
COLOR(blue){おじさん,わたし先が読めたわ!開いた封筒の中...
COLOR(#f04040){そりゃあ話が先に進みすぎ!もちろんそういう...
COLOR(blue){はい,やってみたわ.あ,おじさん,Nを3にして...
COLOR(#f04040){この状況で,開けた封筒のお金が4000円だった...
COLOR(blue){Z2は必ず2ね.Pr(Z2=2|Z1=4)=1. でもPWの中の私...
COLOR(blue){おじさん,Nの値をいろいろ変えてパラレルワール...
COLOR(#f04040){とりあえずこういうことは言えそうだね.おじ...
COLOR(blue){でも,なんとか計算できないものかしら.そうね...
COLOR(#f04040){そろそろ推定問題に話題を移すときがきたよう...
COLOR(blue){あーん,おじさん帰っちゃうの?}
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COLOR(#fe891c){ああ,面白い。おじさんは,最初はお年玉に千...
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COLOR(#000066){ここで説明していただいた「おじさんが封筒に...
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COLOR(#e04040){やあ,ちょっと用事で近くまで来たので,寄っ...
COLOR(blue){あ,おじさん,こんにちは.ね,今日は推定の話...
COLOR(#e04040){残念だけど,そんなには時間がないんだ}
COLOR(blue){あら,がっかり〜}
COLOR(#e04040){それでね,今までさんざん「知らないうちに推...
COLOR(blue){そうね.理由も書かずに「危険、立ち入り禁止」...
COLOR(#e04040){そうなんだ.ただ、何が危ないかなんてのは本...
COLOR(blue){4つもあるの?}
COLOR(#e04040){そうさ.1つめは,「推定値は正しい値と限ら...
COLOR(blue){え,それって当然じゃないの?だって推定値なん...
COLOR(#e04040){そりゃ「今、私は推定作業をしているよ」と自...
COLOR(blue){そうね.計算で出た値が「期待値」なのか「期待...
COLOR(#e04040){第2は,推定方法はいくつもあるってこと.そ...
COLOR(blue){え,推定法っていろいろあるんだ!じゃあいろん...
COLOR(#e04040){それはね,どの推定法が他の推定法よりも正し...
COLOR(blue){ふうん,そうなんだ}
COLOR(#e04040){観測データが増えれば増えるほど,どの推定法...
COLOR(blue){つまり情報が足りないときに,それを補うやり方...
COLOR(#e04040){そして3番目,これは2番目の言い換えになる...
COLOR(blue){偏りがあるって?}
COLOR(#e04040){この場合は分散値を小さめに推定する傾向があ...
COLOR(blue){そんな推定値でもいいの?}
COLOR(#e04040){いいかどうかは使い方次第.ちなみに分散の最...
COLOR(blue){あれ,いつも不思議だったのよー.どう使い分け...
COLOR(#e04040){そうか,知らなかったか.じゃあそれはまたい...
COLOR(blue){「使用上の注意はよく読んでお使い下さい」って...
COLOR(#e04040){そして4番目,推定作業にはいろいろ仮定や前...
COLOR(blue){ふうん,何かの仮定は必ず入っちゃうんだ}
COLOR(#e04040){そうだね.自分の出した結論に,いつの間にか...
COLOR(blue){あー!おじさんはそれを知っててわざと私たちを...
COLOR(#e04040){ははは、そういうことかも.だから,何か怪し...
COLOR(blue){だめよ,そうやって自分を正当化しちゃ!おじさ...
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COLOR(#006789){推定は統計学における中心的課題ですね。通常...
COLOR(#006789){標本抽出を軸とする本格的な統計学は大学でし...
COLOR(#fe891c){えっと何を書くつもりだったっけ。そうそう。...
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